Enunciado

Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximadamente típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região.

y = x ,           y = 1 2 x ,         x = 9

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que calcular a area entre as curvas

y = x y = 1 2 x x = 9

Tem ideia de como fazemos isso?

A área da região limitada pelas curvas é da seguinte forma:

A = ∫ a b f x - g x d x

Veja só!

Passo 2

Vamos achar os pontos de integração das curvas, é só igualar as duas y = x e y = 1 2 x :

x = 1 2 x

Vamos resolver:

x = 1 2 x → x = x 2 2 → x 2 2 - x = 0 → x x 2 - 1 = 0 →

→ x = 0   e   x = 2

Aqui temos o esboço da região, fazemos atribuindo pontos nas curvas:

Fica mais fácil calcular a integral em relação a x , vamos dividir em duas, a primeira com f x = x , que é a curva mais a cima, e g x = 1 2 x , que é a curva mais a baixo, e os limites de integração são x = 0 e x = 4 , os pontos de intersecção das curvas:

∫ 0 4 x - 1 2 x d x

A segunda com f x = 1 2 x , que é a curva mais a cima, e g x = x , que é a curva mais a baixo, e os limites de integração são x = 4 e x = 9 , os pontos de intersecção das curvas:

∫ 4 9 1 2 x - x d x

Aqui temos o desenho do retângulo aproximadamente típico:

Vamos agora achar a área:

A = ∫ 0 4 x - 1 2 x d x + ∫ 4 9 1 2 x - x d x

A = ∫ 0 4 x   d x + ∫ 0 4 - 1 2 x   d x + ∫ 4 9 1 2 x   d x + ∫ 4 9 - 2 x d x

A = ∫ 0 4 x 1 2   d x + ∫ 0 4 - 1 2 x   d x + ∫ 4 9 1 2 x   d x + ∫ 4 9 - 2 x 1 2 d x

Bora lá!

Passo 3

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

A = ∫ x 1 2   d x + ∫ - 1 2 x d x + ∫ 1 2 x d x + ∫ - 2 x 1 2 d x

A = ∫ x 1 2   d x - 1 2 ∫ x d x + 1 2 ∫ x d x - 2 ∫ x 1 2 d x

Calculando a integral...

A = x 1 2 + 1 1 2 + 1 - 1 2 ∙ x 1 + 1 1 + 1 + 1 2 ∙ x 1 + 1 1 + 1 - 2 ∙ x 1 2 + 1 1 2 + 1 + C

A = 2 3 x 3 2 - 1 4 x 2 + 1 4 x 2 - 2 3 x 3 2 + C

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

A = ∫ 0 4 x - 1 2 x d x + ∫ 4 9 1 2 x - x d x

Calculando a integral e aplicando os limites de integração...

A = 2 3 x 3 2 - 1 4 x 2 0 4 + 1 4 x 2 - 2 3 x 3 2 4 9

A = 2 3 4 3 2 - 1 4 4 2 - 2 3 0 3 2 - 1 4 0 2 + 1 4 9 2 - 2 3 9 3 2 - 1 4 4 2 - 2 3 4 3 2

A = 16 3 - 4 + 81 4 - 18 - 4 + 16 3

Simplificando...

A = 59 12

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

A = 59 12

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