Enunciado

Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.

y = t g   x , y = 2   s e n   x , - π 3 ≤ x ≤ π 3

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! O enunciado nos dá as curvas:

y = tan ⁡ x , y = 2 sin ⁡ x , - π 3 ≤ x ≤ π 3

Temos em mãos duas funções trigonométricas no intervalo de:

- π 3 ≤ x ≤ π 3

A primeira coisa que temos que fazer é esboçar o gráfico! As nossas funções são funções trigonométricas bem conhecidas, então não tem mistério!

Para o nosso intervalo temos:

Passo 2

A área que a gente precisa calcular é essa daqui:

Repara que quando x ≤ 0 a curva vermelha esta por cima e quando x ≥ 0 a curva vermelha esta por baixo! Então vamos precisar dividir a integral em duas partes:

A = ∫ - π 3 0 tan ⁡ x - sin ⁡ x d x + ∫ 0 π 3 sin ⁡ x - tan ⁡ x d x

Podemos fazer:

∫ - π 3 0 tan ⁡ x - sin ⁡ x d x = - ∫ 0 π 3 tan ⁡ x - sin ⁡ x d x = ∫ 0 π 3 sin ⁡ x - tan ⁡ x d x

Então temos:

A = 2 ∫ 0 π 3 2 sin ⁡ x - tan ⁡ x x d x

Calculando a integral:

A = 2 - 2 cos ⁡ x - ln ⁡ | sec ⁡ x | 0 π 3

Aplicando os limites de integração:

A = 2 - 2 cos ⁡ π 3 - ln ⁡ sec ⁡ π 3 - [ - 2 cos ⁡ 0 - ln ⁡ sec ⁡ 0 ]

Então:

A = 2 - 1 - ln ⁡ 2 - [ - 2 - 0 ]

A = 2 ( 1 - ln ⁡ 2 )

A = 2 - 2 ln ⁡ 2

Prontinho!

Resposta

A = 2 - 2 ln ⁡ 2

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