Enunciado

Derive:

12) f (z) = ( 1 - e^z ) ( z + e^z )

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos dá:

f (z) = ( 1 - e^z ) ( z + e^z )

E pede pra a gente derivar! Para isso vamos usar a regra do produto:

f^' (x) = (g (x) h (x))^' = h (x) g^' (x) + g (x) h ' ( x )

Bora colocar a mão na massa?

Passo 2

Primeiro precisamos “dividir” a nossa função em duas partes que se multiplicam:

f (z) = ( 1 - e^z ) ( z + e^z )

Nesse caso temos:

g (z) = 1 - e^z

h (z) = z + e^z

Vamos derivar cada uma separadamente:

g (z) = 1 - e^z

g^' (z) = - e^z

Agora h ( z ) :

h (z) = z + e^z

h^' (z) = 1 + e^z

Agora substituímos na regra:

f^' (x) = (g (x) h (x))^' = h (x) g^' (x) + g (x) h ' ( x )

f^' (z) = (z + e^z) (- e^z) + (1 - e^z) (1 + e^z)

f^' (z) = (- z e^z + - e^(2 z)) + (1 - e^(2 z))

Temos então que:

f^' (z) = - z e^z + - 2 e^(2 z) + 1

Prontinho!!

Resposta

f^' (z) = - z e^z + - 2 e^(2 z) + 1

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