Enunciado

Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.

y = x , y = 1 2 x , x = 9

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! O enunciado nos dá as curvas:

y = x , y = 1 2 x , x = 9

Temos uma função raiz e duas retas. Podemos calcular onde a reta   y = 1 2 x intercepta o eixo x e y :

x = 0 → y = 1 2 0 = 0

y = 0 → 0 = 1 2 x → x = 0

Agora a outra curva:

x = 0 → y = 0 = 0

y = 0 → 0 = x = 0

Agora esboçamos o gráfico:

A curva vermelha é y = x ,   a reta azul é y = 1 2 x e a verde é x = 9 .

Passo 2

A área que queremos esboçar é essa de verdinho:

Então os limites de integração vão ser:

s u p e r i o r → x = 9

Para calcular o limite inferior a gente tem que calcular o ponto de intersecção entre as curvas:

x = 1 2 x

Elevando os dois lados ao quadrado:

x = 1 4 x 2

x = 4

Passo 3

Organizando a integral, temos:

A = ∫ 4 9 1 2 x - x d x

Resolvendo...

A = 1 4 x 2 - 2 3 x 3 2 4 9

A = 1 4 9 2 - 2 3 9 3 2 - 1 4 4 2 - 2 3 4 3 2

Então, isso resultará em:

A = 43 12

Prontinho!!

Resposta

A = 43 12

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 1-14, determine o centro de massa de uma placa fina de densidade constante δ que abranja a região dada.A região entre a curva y = sec 2 ⁡ x , - π 4 ≤ x ≤ π 4 , e o eixo x .
Nos Exercícios 1-14, determine o centro de massa de uma placa fina de densidade constante δ que abranja a região dada.A região limitada pela parábola y = x - x 2 e pela reta y = - x .
Nos Exercícios 1-14, determine o centro de massa de uma placa fina de densidade constante δ que abranja a região dada.A região no primeiro e quarto quadrantes, delimitadas pelas curvas y = 1 1 + x 2 e
16- Determine o centro de massa de uma placa fina que abrange a região limitada abaixo pela parábola y = x 2 e acima pela reta y = x , se a densidade da placa no ponto ( x , y ) for δ x = 12 x .
Nos Exercícios 1-14, determine o centro de massa de uma placa fina de densidade constante δ que abranja a região dada. A região limitada pelas parábolas y = 2 x 2 - 4 x e y = 2 x - x 2 .