Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.

y = raiz(x), y = 1 / 2 \* x, x = 9

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! O enunciado nos dá as curvas:

y = x , y = 1 2 x , x = 9

Temos uma função raiz e duas retas. Podemos calcular onde a reta   y = 1 2 x intercepta o eixo x e y :

x = 0 → y = 1 2 0 = 0

y = 0 → 0 = 1 2 x → x = 0

Agora a outra curva:

x = 0 → y = 0 = 0

y = 0 → 0 = x = 0

Agora esboçamos o gráfico:

A curva vermelha é y = x ,   a reta azul é y = 1 2 x e a verde é x = 9 .

Passo 2

Vamos primeiro calcular essa área em verde ( 4 < x < 9 ) :

Então os limites de integração vão ser:

s u p e r i o r → x = 9

Para calcular o limite inferior a gente tem que calcular o ponto de intersecção entre as curvas:

x = 1 2 x

Elevando os dois lados ao quadrado:

x = 1 4 x 2

x = 4

Passo 3

Organizando a integral, temos:

A 1 = ∫ 4 9 1 2 x - x d x

Resolvendo...

A 1 = 1 4 x 2 - 2 3 x 3 2 4 9

A 1 = 1 4 9 2 - 2 3 9 3 2 - 1 4 4 2 - 2 3 4 3 2

Então, isso resultará em:

A 1 = 43 12

Passo 4

Agora vamos calcular a outra área que nos restou... do intervalo de 0 a 4 .

Note que a curva vermelha está acima da curva azul, portanto:

A 2 = ∫ 0 4 x - 1 2 x d x

Resolvendo...

A 2 = 2 3 x 3 2 + 1 2 x 2 2 4 0 ∴

A 2 = 4 3

Assim, a área total é:

A = A 1 + A 2 ∴

A = 43 12 + 4 3 ∴

A = 59 12

Prontinho!!

Resposta

A = 59 12

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