Enunciado

Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.

y = x , y = x 2 - 2

Passo 1

Entender como esse gráfico se comporta é o primeiro passo de tudo! . Bom, a função y = x nos diz que todos os valores serão positivos, ou seja, x > 0 .

Já a função y = x 2 - 2 , será uma polinomial de grau 2 com coeficiente angular maior que zero e para cima . Então o nosso graficozinho fica assim:

Agora, fazendo a interseção entre as funções, temos:

x 2 - 2 = x

x 2 - x - 2 = 0

A gente bate o olho nessa equação e pensa “Hmm, fórmula de bhaskara”, mas o objetivo aqui é facilitar né não? Vamos reescrever a equação:

( x - 2 ) ( x + 1 ) = 0

Logo, x = 2 , já que não podemos usar valores negativos.

Esse será o nosso intervalo de integração. Agora podemos calcular a área!!

Passo 2

Organizando a integral, temos:

A = ∫ - 2 2 [ | x | - x 2 - 2 ] d x

Aqui temos um daqueles caso do Teorema da simetria, portanto

A = 2 ∫ 0 2 [ x - x 2 - 2 ] d x

A = 2 ∫ 0 2 [ x - x 2 + 2 ] d x

Resolvendo...

A = 2 x 2 2 - x 3 3 + 2 x 0 2

A = 2 { 2 2 2 - 2 3 3 + 2 2 - 0 2 2 - 0 3 3 + 2 0 }

Então, isso resultará em:

A = 2 [ 2 2 2 - 2 3 3 + 2 2 ]

A = 2 [ 2 - 8 3 + 4 ]

A = 20 3

Prontinho!!

Resposta

A = 20 3

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