Enunciado

Esboce a região limitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Desenhe um retângulo típico de aproximação e coloque sua altura e largura. Entao calcule a área da região.

17. x = 2 y 2 ,     y + x = 1

Passo 1

Esboçando as curvas vamos ter que a área entre elas é essa:

Para realizar a integração é melhor nós escrevermos a segunda função dessa forma:

x = 1 - y

Para essa área é melhor nós integrarmos em relação à y , pois quando desenhamos o retângulo:

Aquele tamanho x sempre pode ser escrito como a diferença entre a função ( 1 - y ) e ( 2 y 2 ) . Agora só precisamos descobrir quais são esses limites de integração, lembrando que precisamos da coordenada em y . Para achar essas coordenadas só precisamos igualar as funções:

2 y 2 = 1 - y

2 y 2 + y - 1 = 0

Resolvendo essa equação de segundo grau vamos obter esses dois valores para y :

y 1 = - 1

e

y 2 = 1 / 2

Então vamos fazer a nossa integração:

A = ∫ - 1 1 / 2 1 - y - 2 y 2 d y

Fazendo as somas dentro da integral:

A = ∫ - 1 1 / 2 1 - y - 2 y 2 d y

Essa é uma integral de polinômio que fica fácil de resolver, só somar um no expoente e dividir pelo expoente cada termo:

A = y - y 2 2 - 2 y 3 3 - 1 1 / 2

Aplicando os limites de integração:

A = 1 / 2 - 1 / 2 2 2 - 2 1 / 2 3 3 - - 1 - - 1 2 2 - 2 - 1 3 3

A = 1 2 - 1 8 - 1 12 - - 1 - 1 2 + 2 3

Vamos tirar o mínimo multilplo comum e fazer a soma dessas frações:

A = 12 - 3 - 2 + 24 + 12 - 16 24

A = 27 24

A = 9 8

Resposta

A = 9 8

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