Enunciado

Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições dadas.

0 ≤ r < 2 ,   π ≤ θ ≤ 3 π 2

Passo 1

Para esboçar a região no plano cujas coordenadas polares satisfazem as condições 0 ≤ r < 2 e π ≤ θ ≤ 3 π 2 ​, precisamos entender o sistema de coordenadas polares.

Em coordenadas polares, r representa a distância do ponto à origem (raio) e θ representa o ângulo entre o eixo positivo x e a linha que conecta a origem ao ponto (ângulo polar).

Vamos analisar cada condição, preste atenção!!!

1° Condição:

Para 0 ≤ r < 2 significa que a distância do ponto à origem deve ser maior ou igual a zero e menor que 2. Portanto, todos os pontos dentro do círculo com raio 2 (inclusive a borda) satisfazem esta condição.

2° Condição:

Para π ≤ θ ≤ 3 π 2 ​ indica que o ângulo polar deve estar no intervalo de π ( 180 ° ) a 3 π 2 ​ ( 270 ° ), o que significa que os pontos devem estar localizados abaixo do eixo x negativo e acima do eixo y negativo.

Passo 2

O gráfico consistirá em um círculo com raio 2, centrado na origem do plano cartesiano. Este círculo representará a primeira condição, 0 ≤ r < 2 , Além disso, para satisfazer a segunda condição, π ≤ θ ≤ 3 π 2 ​, precisamos considerar os pontos cujos ângulos polares estão no intervalo de π a 3 π 2 . ​

Esta região será um quarto de círculo no terceiro quadrante do plano cartesiano, incluindo a parte inferior esquerda do círculo. Todas as coordenadas polares dentro deste quarto de círculo satisfazem as condições dadas.

E então, a região que queremos é:

Resposta

A região no plano é um setor circular de um círculo de raio 2 , limitado pelo ângulo de π a 3 π 2 e incluindo a borda do círculo.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce as retas nos Exercícios 23-28. Determine também uma equação cartesiana para cada reta. r = 2 sec ⁡ θ
Esboce as retas nos Exercícios 23-28. Determine também uma equação cartesiana para cada reta. r c o s θ + π 3 = 2 3
Esboce as retas nos Exercícios 23-28. Determine também uma equação cartesiana para cada reta. r = - 2 sec ⁡ θ
Encontre equações cartesianas para os círculos nos Exercícios 29-32. Esboce cada círculo no plano coordenado e rotule-o com as equações cartesianas e polares. r = - 6 cos ⁡ θ
Encontre equações cartesianas para os círculos nos Exercícios 29-32. Esboce cada círculo no plano coordenado e rotule-o com as equações cartesianas e polares. r = 2 2 cos ⁡ θ