Enunciado

Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a.

∫ 0 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 r r d z d θ d r

Passo 1

Faaala, pessoal!

Essa questão pede pra gente esboçar o sólido que essa integral representa o volume, depois calcular.

Percebe que essa integral está em coordenadas cilíndricas, e o integrando é o próprio jacobiano J = r , então essa integral é a mesma coisa que:

∭ W d V

Que representa o volume do sólido W , que é o domínio de integração.

Então o que vamos fazer pra esboçar W é olhar pros limites de integração das coordenadas cilíndricas:

0 ≤ z ≤ r

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ r ≤ 2

Primeiro vamos olhar pra coordenada z , e depois as outras duas r , θ , que vão ser equivalentes a coordenadas polares no plano x y .

Depois de esboçar, vamos calcular a integral, de dentro pra fora.

Passo 2

Os limites de z são:

0 ≤ z ≤ r

Ou seja, o sólido está entre z = 0 (plano x y ) e z = r , que é um cone. A gente consegue confirmar isso trocando esse r por coordenadas cartesianas:

r 2 = x 2 + y 2 ⇒ r = x 2 + y 2

Lembra que r é sempre positivo! Então:

z = r ⇒ z = x 2 + y 2

⇒ z 2 = x 2 + y 2

Que é a equação do cartesiana de um cone.

Já vimos, então, que o sólido está entre essas duas superfícies:

Olhando agora pra projeção do sólido no plano x y , pelas outras duas coordenadas:

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ r ≤ 2

Esses limites representam exatamente um disco de raio 2 :

Vamos colocar tudo no R 3 pra conseguirmos esboçar o sólido:

O sólido fica assim:

Passo 3

Pra calcular a integral iterada, vamos integrar de dentro pra fora.

Primeiro, em função de z , considerando r e θ constante:

∫ 0 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 r r d z d θ d r =

= ∫ 0 2 ∫ 0 2 π r ∙ z z = 0 z = r d θ d r =

Calculando nos limites:

= ∫ 0 2 ∫ 0 2 π r ∙ r - r ∙ 0 d θ d r =

= ∫ 0 2 ∫ 0 2 π r 2 d θ d r =

Agora integramos em função de θ , com r constante:

= ∫ 0 2 ∫ 0 2 π r 2 d θ d r =

= ∫ 0 2 r 2 ∙ θ θ = 0 θ = 2 π d r =

Substituindo nos limites:

= ∫ 0 2 r 2 ∙ 2 π - r 2 ∙ 0 d r =

= ∫ 0 2 2 π r 2 d r =

Finalmente, integramos em função de r :

= 2 π r 3 3 0 2 =

= 2 π ∙ 2 3 3 - 0 =

Então:

= 2 π ∙ 8 3 = 16 π 3

Resposta

∫ 0 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 r r d z d θ d r = 16 π 3

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