Enunciado

Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a.

∫ 0 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 r r d z d θ d r

Passo 1

Para esboçarmos o sólido, torna-se muito mais fácil compreende-lo no sistema de coordenadas cartesianos. Portanto, vamos mudar os limites de integração do sistema r , θ , z para x , y , z .

Em relação a integração em z , temos então:

z 1 = 0

z 2 = r = x 2 + y 2

Portanto, o nosso sólido é limitado acima por um cone e abaixo pelo plano z = 0 . Já a projeção do nosso sólido no plano x y nos da uma região tal que:

0 ≤ r ≤ 2

0 ≤ θ ≤ 2 π

Como θ varia de 0 até 2 π e r varia de 0 até 2, a projeção do nosso cone no plano x y é uma circunferência completa de raio 2.

Passo 2

Após compreendermos o sólido, podemos esboça-lo. Sendo assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral do nosso problema. Para isto, basta integrar cada uma das variáveis e aplicar o teorema fundamental do cálculo. Logo,

∫ 0 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 r r d z d θ d r

∫ 0 2 ∫ 0 2 π r z 0 r d θ d r = ∫ 0 2 ∫ 0 2 π r 2 d θ d r

∫ 0 2 r 2 θ 0 2 π d r = ∫ 0 2 2 π r 2 d r

2 π r 3 3 0 2 = 16 π 3

Resposta

∫ 0 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 r r d z d θ d r = 16 π 3

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