Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.7 - Ex. 16
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a.
Passo 1
Para esboçarmos o sólido, torna-se muito mais fácil compreende-lo no sistema de coordenadas cartesianos. Portanto, vamos mudar os limites de integração do sistema para .
Em relação a integração em , temos então:
Portanto, o nosso sólido é limitado acima por um cone e abaixo pelo plano . Já a projeção do nosso sólido no plano nos da uma região tal que:
Como varia de até e varia de 0 até 2, a projeção do nosso cone no plano é uma circunferência completa de raio 2.
Passo 2
Após compreendermos o sólido, podemos esboça-lo. Sendo assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral do nosso problema. Para isto, basta integrar cada uma das variáveis e aplicar o teorema fundamental do cálculo. Logo,
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Encontre os volumes dos sólidos nos Exercícios 43-48.
Cilindro e planos Encontre o volume da região delimitadapelo cilindro x2 + y2 = 4 e os planos z = 0 e y + z = 4.
Esfera e cilindro Encontre o volume da região que está dentro da esfera x2 + y2 + z2 = 2 e fora do cilindro x2 + y2 = 1.
Esfera e paraboloide Encontre o volume da região delimitada acima pela esfera x2 + y2 + z2 = 2 e abaixo pelo paraboloide z = x2 + y2.
Como as integrais triplas são definidas em coordenadas cilíndricas e esféricas? Por que alguém poderia preferir trabalharem um desses sistemas de coordenadas a trabalhar em coordenadas retangulares?