Enunciado

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Passo 1

Queremos esboçar o gráfico da seguinte função paramétrica, mostrando a direção em que o parâmetro cresce:

r t = cos ⁡ t i - cos ⁡ t j + s e n t k

Passo 2

As coordenadas x , y e z da equação paramétrica são respectivamente:

x = cos ⁡ t ,     ( 1 ) y = - cos ⁡ t ,     ( 2 ) z = s e n t ,     ( 3 )

Utilizando ( 1 ) e ( 2 ) :

x = - y

Utilizando ( 1 ) e ( 3 ) :

x = cos ⁡ t ,     z = s e n ( t )

x 2 + z 2 = cos 2 ⁡ ( t ) + s e n 2 t = 1

Assim, temos um círculo no eixo x z cuja coordenada y vai aumentando conforme o valor de – x .

Logo, temos um círculo no problema, mas não é paralelo aos planos x y ou x z ou y z :

Passo 3

Para verificarmos de que forma o parâmetro t cresce, vamos observar alguns valores de t :

t = 0

x = cos ⁡ t = 1 ,     y = - cos ⁡ t = - 1 ,     z = s e n t = 0

t = π 2

x = cos ⁡ π 2 = 0 ,     y = - cos ⁡ π 2 = 0 ,     z = s e n π 2 = 1

Assim o parâmetro cresce seguindo o caminho:

1 , - 1,0 → ( 0,0 , 1 )

O gráfico da equação é:

Resposta

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