Enunciado

Utilize o computador para traçar o gráfico da curva com equações paramétricas x = c o s , y = sen ⁡ 3 t , z = sen ⁡ t . Determine o comprimento total da curva com precisão de quatro casas decimais.

Passo 1

Aqui estão duas vistas da curva com equações paramétricas = c o s , y = sen ⁡ 3 t , z = sen ⁡ t :

Note que, a curva completa é dada pelo intervalo do parâmetro 0,2 π , então podemos calcular:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2 d t

Passo 2

Assim, vamos calcular, primeiro, as derivadas:

d x d t = - sen ⁡ t

d y d t = 3 cos ⁡ 3 t

d z d t = cos ⁡ t

Assim

L = ∫ 0 2 π - sen ⁡ t 2 + 3 cos ⁡ 3 t 2 + cos ⁡ t 2 d t

Isso implica que:

L = ∫ 0 2 π 1 + 9 cos 2 ⁡ 3 t d t ≈ 13.9744

Resposta

L ≈ 13.9744

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