Enunciado

Escreva o enunciado aqui.

Passo 1

Em uma equação paramétrica do seguinte tipo:

r (t) = < x (t) , y (t) , z (t) >

O comprimento da curva de um ponto t = a até um ponto t = b é dado por:

L = int_a^b sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2 + ((d z)/(d t))^2) d t

Passo 2

Queremos determinar o comprimento da seguinte curva:

{[[r (t) = < t^2 , s e n (t) - t c o s (t) , cos (t) + t s e n ( t ) >],[0 <= t <= pi]])

Vamos utilizar a fórmula e determinar o comprimento:

L = int_0^(pi) sqrt(((d)/(d t) t^2)^2 + ((d)/(d t) s e n (t) - t c o s ( t ))^2 + ((d)/(d t) cos (t) + t s e n ( t ))^2) d t

L = int_0^(pi) sqrt((2 t)^2 + (cos (t) - cos (t) + t s e n ( t ))^2 + (- s e n (t) + s e n (t) + t c o s ( t ))^2) d t

L = int_0^(pi) sqrt((2 t)^2 + (t s e n (t))^2 + (t c o s (t))^2) d t

L = int_0^(pi) sqrt(4 t^2 + t^2 (s e n^2 (t) + cos^2 (t))) d t

Lembrando que s e n^2 (t) + cos^2 (t) = 1 :

L = int_0^(pi) sqrt(5 t^2) d t = int_0^(pi) |t| sqrt(5) d t

Como os limites de integração estão em t >= 0 , podemos retirar o módulo, pois |t| = t , t >= 0 :

L = int_0^(pi) t sqrt(5) d t -> L = [(t^2)/(2) sqrt(5)]_0^(pi) -> L = (pi^2)/(2) sqrt(5)

Resposta

L = (pi^2)/(2) sqrt(5)

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