Enunciado

Determine o comprimento da curva dada.

r (t) = i + t^2 j + t^3 k 0 <= t <= 1

Passo 1

Em uma equação paramétrica do seguinte tipo:

r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k

O comprimento da curva de um ponto t = a até um ponto t = b é dado por:

L = int_a^b sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2 + ((d z)/(d t))^2) d t

Passo 2

Queremos determinar o comprimento da seguinte curva:

{[[r (t) = i + t^2 j + t^3 k],[0 <= t <= 1]])

Vamos utilizar a fórmula e determinar o comprimento:

L = int_0^1 sqrt(((d)/(d t) 1)^2 + ((d)/(d t) t^2)^2 + ((d)/(d t) t^3)^2) d t

L = int_0^1 sqrt(4 t^2 + 9 t^4) d t = int_0^1 sqrt(t^2 ( 4 + 9 t^2 )) d t = int_0^1 | t | sqrt(( 4 + 9 t^2 )) d t

Como estamos no intervalo 0 < t < 1 , |t| = t :

L = int_0^1 t sqrt(( 4 + 9 t^2 )) d t

Vamos utilizar a regra da substituição para calcular a integral:

u = 9 t^2 + 4 , d u = 18 t d t

t = 0 -> u = 4 , t = 1 -> u = 13

L = int_4^(13) (sqrt(u))/(18) d t -> L = [(1)/(27) u^((3)/(2))]_4^(13) -> L = (13^((3)/(2)))/(27) - (8)/(27)

Resposta

L = (13^((3)/(2)))/(27) - (8)/(27)

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