Enunciado

Determine o comprimento da curva dada.

r (t) = cos t i + sin t j + ln cos t k 0 <= t <= (pi)/(4)

Passo 1

Em uma equação paramétrica do seguinte tipo:

r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k

O comprimento da curva de um ponto t = a até um ponto t = b é dado por:

L = int_a^b sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2 + ((d z)/(d t))^2) d t

Passo 2

Queremos determinar o comprimento da seguinte curva:

{[[r (t) = cos (t) i + s e n (t) j + ln (cos (t)) k],[0 <= t <= (pi)/(4)]])

Vamos utilizar a fórmula e determinar o comprimento, lembrando-se das seguintes relações trigonométricas:

s e n^2 (t) + cos^2 ( t ) = 1 , t g^2 (t) + 1 = sec^2 ( t )

L = int_0^((pi)/(4)) sqrt(((d)/(d t) c o s ( t ))^2 + ((d)/(d t) s e n ( t ))^2 + ((d)/(d t) ln (cos (t)))^2) d t

L = int_0^((pi)/(4)) sqrt((- s e n (t))^2 + (cos (t))^2 + ((1)/(cos (t)) (- s e n (t)))^2) d t

L = int_0^((pi)/(4)) sqrt(s e n^2 (t) + cos^2 ( t ) + t g^2 ( t )) d t = int_0^((pi)/(4)) sqrt(1 + t g^2 ( t )) d t = int_0^((pi)/(4)) sqrt(sec^2 ( t )) d t

L = int_0^((pi)/(4)) | sec (t) | d t

Como para - (pi)/(2) < t < (pi)/(2) sec (t) > 0 , entã esse intervalo | s e c ( t ) | = s e c ( t ) :

L = int_0^((pi)/(4)) sec (t) d t -> L = [ln |sec (t) + t g (t)|]_0^((pi)/(4))

L = ln |sqrt(2) + 1| - ln |1| -> L = l n ( sqrt(2) + 1 )

Resposta

L = l n ( sqrt(2) + 1 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

As funções a seguir definem campos vetoriais sobre R 2 . Determinar e fazer os gráficos das curvas onde | f → | é constante.c) f → x , y = 2 i → + x j → .
As funções a seguir definem campos vetoriais em R 2 . Determinar e fazer os gráficos das curvas onde f → tem direção constante.d) f → = x i → + y 2 j → .
O campo vetorial f → = - y x 2 + y 2 i → + x x 2 + y 2 j → aproxima o campo de velocidade da água, que ocorre quando se puxa um tampão numa canalização. Representar graficamente este campo.
Nos exercícios de 1 a 7 representar graficamente os seguintes campos vetoriais.3) f → x , y = - y i → + x j →
As funções a seguir definem campos vetoriais em R 2 . Determinar e fazer os gráficos das curvas onde f → tem direção constante. f → = x i → + 2 y j → .