Enunciado

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Escreva o enunciado aqui.

Passo 1

Uma partícula que tem uma função vetorial de posição do tipo:

r t = < x t , y t , z t >

Tem como função vetorial velocidade:

v t = d r ( t ) d t = < d x ( t ) d t , d y ( t ) d t , d z ( t ) d t >

Velocidade escalar:

v t = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2

E vetor aceleração:

a t = d v d t = d 2 r ( t ) d t 2 = < d 2 x ( t ) d t 2 , d 2 y ( t ) d t 2 , d 2 z ( t ) d t 2 >

Passo 2

Queremos calcular o vetor velocidade, velocidade escalar e aceleração, e após isso, esboçar a curva da seguinte função vetorial, desenhando o vetor aceleração e posição no ponto:

r t = e t i + e 2 t   j t = 0

O vetor posição em t = 0 é:

r 0 = 1   i + 1   j

Vamos calcular a velocidade:

v t = d d t e t   i + d d t e 2 t   j

v t = e t   i + 2 e 2 t j

Em t = 0 :

v 0 = 1   i + 2   j

Passo 3

A velocidade escalar da partícula é:

v t = e t 2 + 2 e 2 t 2 → v t = e 2 t + 4 e 4 t

v t = e 2 t ( 1 + 4 e 2 t ) →   v t = e t 4 e 2 t + 1

Passo 4

O vetor aceleração da partícula é:

a t = d v d t = d 2 r d t 2 =   e t   i + 4 e 2 t   j

Em t = 0 :

a 0 =   1   i + 4   j

Passo 5

Para esboçar a curva, vamos transformar a equação paramétrica em equação cartesiana:

x = e t ,     ( 1 ) y = e 2 t → y = e t 2     ( 2 )

Aplicado a equação ( 1 ) em ( 2 ) :

y = e t 2 → y = x 2

Ou seja, uma parábola.

O gráfico dela é:

Resposta

v t = e t   i + 2 e 2 t j

v t = e t 4 e 2 t + 1

a t = d v d t = d 2 r d t 2 =   e t   i + 4 e 2 t   j

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