Enunciado

Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada. Esboce a trajetória da partícula e desenhe os vetores velocidade e aceleração para os valores de t especificados.

r t = < t , 1 - t > ;         t = 1

Passo 1

Uma partícula que tem uma função vetorial de posição do tipo:

r t = < x t , y t , z t >

Tem como função vetorial velocidade:

v t = d r ( t ) d t = < d x ( t ) d t , d y ( t ) d t , d z ( t ) d t >

Velocidade escalar:

v t = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2

E vetor aceleração:

a t = d v d t = d 2 r ( t ) d t 2 = < d 2 x ( t ) d t 2 , d 2 y ( t ) d t 2 , d 2 z ( t ) d t 2 >

Passo 2

Queremos calcular o vetor velocidade, velocidade escalar e aceleração, e após isso, esboçar a curva da seguinte função vetorial, desenhando o vetor aceleração e posição no ponto:

r t = < t , 1 - t > t = 1

O vetor posição em t = 1 é:

r 1 = < 1,0 >

Vamos calcular a velocidade:

v t = < d d t t , d d t 1 - t >

v t = < 1 2 t , - 1 >

Em t = 1 :

v 1 = < 1 2 , - 1 >

Passo 3

A velocidade escalar da partícula em é:

v t = 1 2 t 2 + - 1 2 → v t = 1 4 t + 1

Passo 4

O vetor aceleração da partícula é:

a t = v ' t =   < - 1 4 t - 3 2 , 0 >

a 1 =   < - 1 4 , 0 >

Passo 5

Para esboçar a curva, vamos transformar a equação paramétrica em equação cartesiana:

x = t ,     ( 1 ) y = 1 - t → t = 1 - y     ( 2 )

Aplicando ( 2 ) em ( 1 ) :

x = 1 - y

x 2 = 1 - y → y = 1 - x 2

Que é uma parábola, mas somente para x > 0 . Seu gráfico é:

Resposta

v t = < 1 2 t , - 1 >

v t = 1 4 t + 1

a t = v ' t =   < - 1 4 t - 3 2 , 0 >

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