Enunciado

Esboce a curva e calcule a área limitada por ela

r = 2 - sen 2 theta

Passo 1

Primeiro vamos esboçar nossa curva, depois a gente calcula a área.

Para esboçar, vamos escolhar alguns valores de theta dentro do intervalo 0 <= theta <= 2 pi e obter os valores de r correspondentes. Assim a gente plota os pontos ( r , theta ) , depois liga.

Vamos fazer dessa forma manual porque nessa questão ele não pede pra usar ferramenta gráfica, ok?

Plotando esses pontos e ligando tudo, vamos ter a curva:

Passo 2

Agora sim vamos calcular a área da curva!

A área de uma curva em coordenadas polares é dada por

A = int_a^b (1)/(2) r^2 d theta

Então temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular.

Passo 3

O intervalo de integração seria o intervalo em que a curva está definida:

a = 0

b = 2 pi

O r é a própria parametrização

r = 2 - sen 2 theta

Então é só substituir e integrar esse negocio.

Passo 4

Vamos lá:

A = (1)/(2) int_0^(2 pi) (2 - sen 2 theta)^2 d theta

A = (1)/(2) int_0^(2 pi) ( 4 - 4 sen 2 theta + sen^2 2 theta ) d theta

A = (1)/(2) int_0^(2 pi) ( 4 - 4 sen 2 theta + (1)/(2) ( 1 - cos 4 theta ) d theta

A = (1)/(2) [ 4 theta - (4)/(2) cos 2 theta + (1)/(2) theta - (1)/(2) * (1)/(4) sen 4 theta ] [[2,pi],[0]]

A = (1)/(2) [ 4.2 pi - 2 cos 4 pi + (1)/(2) . 2 pi - (1)/(8) sen 8 pi - 4.0 + 2 cos 0 + (1)/(2) . 0 + (1)/(8) sen 0 ] [[2,pi],[0]]

A = (1)/(2) [ 8 pi - 2 + pi - 0 - 0 + 2 + 0 + 0 ] [[2,pi],[0]]

A = (9 pi)/(2)

Resposta

A = (9 pi)/(2)

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Encontre a área da região dentro de um laço da curva: r 2 = s e n 2 θ
Encontre a área da região dentro de um laço da curva: r = 2 s e n 5 θ
Esboce a curva e calcule a área delimitada por ela. r = 2s e nθ
Encontre a área da região dentro de um laço da curva: r = s e n 4 θ
Trace a curva e calcule a área delimitada por ela. r = 1 + c o s 2 ( 5 θ )