Enunciado

Determine os vetores velocidade e aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.

r t = 2 i + e t j + e - t k

Passo 1

Uma partícula que tem uma função vetorial de posição do tipo:

r t = < x t , y t , z t >

Tem como função vetorial velocidade:

v t = d r ( t ) d t = < d x ( t ) d t , d y ( t ) d t , d z ( t ) d t >

Velocidade escalar:

v t = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2

E vetor aceleração:

a t = d v d t = d 2 r ( t ) d t 2 = < d 2 x ( t ) d t 2 , d 2 y ( t ) d t 2 , d 2 z ( t ) d t 2 >

Passo 2

Queremos calcular o vetor velocidade, velocidade escalar e aceleração da seguinte função vetorial:

r t = 2 t   i + e t   j + e - t   k

Vamos calcular a velocidade:

v t = < d d t 2 t   i + d d t e t   j + d d t e - t   k >

v t = 2 i + e t j - e - t   k

Passo 3

A velocidade escalar da partícula é:

v t = 2 2 + e t 2 + - e - t 2 → v t = 2 + e 2 t + e - 2 t

Passo 4

O vetor aceleração da partícula é:

a t = d 2 r d t 2 = d v d t = d d t 2   i + d d t e t j + d d t - e - t k

a t = e t   j + e - t   k

Resposta

v t = 2 i + e t j - e - t   k

v t = 2 + e 2 t + e - 2 t

a t = e t   j + e - t   k

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Calcular o limite e analisar a continuidade das funções vetoriais, nos pontos indicados.e) f → t = 2 t - 1 i → + 4 t - 2 j → - 5 k → , t ≠ 1et ≠ 2 0 ,t = 1et = 2 em t = 1 e t = 2 .
Sejam f → t = t i → + 2 t 2 j → + 3 t 3 k → e g → t = 2 t i → + j → - 3 t 2 k → ,t ≥ 0 . Calcular:(b) lim t → 1 ⁡ [ f → t - g → t ]
Calcular o limite e analisar a continuidade das funções vetoriais, nos pontos indicados.a) t - 3 t - 3 i → + t 2 j → ,t ≠ 3 0 ,t = 3 em t = 0 e t = 3 .
Sejam f → t = a → t + b → t 2 e g → t = t i → + s e n ⁡ t j → + cos ⁡ t k → , com a → = i → + j → e b → = 2 i → - j → ; 0 ≤ t ≤ 2 π . Calcular:(d) a → ⋅ f → t + b → ⋅ g → ( t )