Enunciado

Escreva uma equação diferencial da forma d y d t = a y + b   cujas soluções têm o comportamento descrito quando t   →   ∞

Todas as outras soluções divergem de y = 1 3

Passo 1

Campos de direções são ferramentas valiosas no estudo de soluções de equações diferenciais da forma

d y d t = f t , y

Em que f é uma função dada de duas variáveis, t   e   y , algumas vezes chamada de função taxa. Um campo de direções pode ser constuido calculando f em cada ponto de uma malha retangular. Em cada ponto da malha desenha-se um pequeno segmento de reta cujo coeficiente angular é o valor da função f naquele ponto.

Um campo de direções fornece uma boa ideia do comportamento global das soluções de uma equação diferencial.

Para construir campos de direções não precisamos resolver nossa EDO, basta calcular a função dada f ( t , y )   muitas vezes.

Passo 2

Como as soluções tem que divergir de y = 1 3   , temos que f t , y = 0 ,   com 1 3 sendo raíz de f ( t , y ) . Além disso, acima de y = 1 3 no gráfico de y   × t os segmentos no campo de direções tem que ter coeficiente positivo e abaixo da reta y = 1 3 negativo

Passo 3

Dessa forma , y ' = 3 y - 1

É uma possível solução, pois atende as propriedades acima, já que para valores grandes de y f ( t , y )   é positiva e para valores pequenos negativa.

Resposta

y ' = 3 y - 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que y = x - x - 1 é uma solução da equação diferencial x y ' + y = 2 x
O que você pode dizer da solução da equação y ' = - y 2 apenas olhando a equação diferencial?Verifique que todos os membros da família y = 1 x + C são soluções da equação na parte (a).Você pode pensar
Para quais valores de r a função y = e r x satisfaz a equação diferencial 2 y ” + y ' - y = 0 Se r 1 e r 2 são os valores que você encontrou na parte (a), mostre que todo membro da família de funções
Os psicólogos interessados em teoria do aprendizado estudam as curvas do aprendizado. Uma curva de aprendizado é o gráfico de uma função P ( t ) , o desempenho de alguém aprendendo uma habilidade como
Encontre d y d x e d 2 y d x 2 . Para quais valores de t a curva é côncava para cima? x = cos ⁡ 2 t y = cos ⁡ t 0 ≤ t ≤ π