Enunciado

Encontre d y d x e d 2 y d x 2 . Para quais valores de t a curva é côncava para cima?

x = cos ⁡ 2 t

y = cos ⁡ t

0 ≤ t ≤ π

Passo 1

Olá, meu amigo. Pronto para resolver essa atividade de derivadas?

Temos uma curva parametrizada dada por:

x = cos ⁡ 2 t

y = cos ⁡ t

0 ≤ t ≤ π

E queremos então encontrar a primeira derivada e a segunda derivada dessa parametrização.

A derivada primeira da curva é dada por:

d y d x = d y d t d x d t

Assim, precisamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t e substituir nessa fórmula.

Agora para calcular a derivada segunda, temos que fazer:

d 2 y d x 2 = d d x d y d x

d 2 y d x 2 = d d t d y d x d x d t

Que é a derivação da primeira derivada que iremos encontrar. Após encontrarmos a nossa segunda derivada poderemos dizer se a curva é concava para cima ou para baixo.

A curva é concava para cima quando:

d 2 y d x 2 > 0

E concava para baixo quando:

d 2 y d x 2 < 0

Passo 2

Vamos começar pela derivada de y :

y = cos ⁡ t

d y d t = - sen ⁡ t

Agora a derivada de x :

x = cos ⁡ 2 t

Aqui a gente aplica a regra da cadeia:

d x d t = - 2 sen ⁡ 2 t

Substituindo na fórmula

d y d x = d y d t d x d t = - sen ⁡ t - 2 sen ⁡ 2 t

d y d x = sen ⁡ t 2 sen ⁡ 2 t

Podemos simplificar utilizando sin ⁡ 2 t = 2 sin ⁡ t cos ⁡ t :

d y d x = sin ⁡ t 4 sin ⁡ t cos ⁡ t = 1 4 cos ⁡ t

d y d x = sec ⁡ t 4

Passo 3

Agora para calcular a derivada segunda, temos que fazer:

d 2 y d x 2 = d d x d y d x = d d t d y d x d x d t

Então, vamos pegar a derivada d y d x e derivar em relação a t e depois a gente substituiu aí, porque a derivada de x em relação a t nós já temos.

d y d x = sec ⁡ t 4

Diferenciando em ambos os lados:

d 2 y d x 2 = d d x sec ⁡ t 4 ⋅ d t d x

Sabendo que sec ⁡ t = sec ⁡ t ⋅ tan ⁡ t e substituindo d t d x que será o inverso do d x d t que a gente já descobriu:

d 2 y d x 2 = 1 4 sec ⁡ t ⋅ tan ⁡ t ⋅ 1 - 2 sin ⁡ t

Podemos simplificar utilizando sin ⁡ 2 t = 2 sin ⁡ t cos ⁡ t :

d 2 y d x 2 = 1 4 sec ⁡ t ⋅ tan ⁡ t ⋅ 1 - 4 sin ⁡ t cos ⁡ t

Simplificando:

d 2 y d x 2 = sec 2 ⁡ t 16 ⋅ 1 - cos ⁡ t

Passo 4

Para descobrir para quais valores de t a curva é côncava para cima, precisamos fazer:

d 2 y d x 2 > 0

Assim

d 2 y d x 2 = sec 2 ⁡ t 16 ⋅ 1 - cos ⁡ t

- 1 16 cos 3 ⁡ t > 0

Então temos que:

d 2 y d x 2 > 0

Para o intervalo:

] π 2 , π [

Resposta

d y d x = sec ⁡ t 4

d 2 y d x 2 = sec 2 ⁡ t 16 ⋅ 1 - cos ⁡ t

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