Enunciado

Escreva a função composta na forma f g x . [Identifique a função de dentro u = g ( x ) e a de fora y = f ( u ) .] Então encontre a derivada d y / d x .

y = sen ⁡ 4 x

Passo 1

Oie, bora fazer essa comigo?

Para escrever a função composta y   =   f g x onde   g x é a função de dentro e   f u

é a função de fora, podemos considerar u   =   g x como (   u   =   4 x   )   e   (   f u =   s i n u ) .

Então, temos:

y   =   s i n 4 x

Agora, para encontrar a derivada d y / d x   , podemos aplicar a regra da cadeia, que nos diz que:

d y d x = d y d u ⋅ d u d x

Passo 2

Onde:

- d y d u é a derivada de f ( u ) em relação a u .

- d u d x é a derivada de g ( x ) em relação a x .

Para a função f u =   s i n u , a derivada em relação a u é d f d u = cos ⁡ ( u )

Para g x =   4 x   ) a derivada em relação a x   é d g d x = 4

Agora, substituindo essas derivadas na regra da cadeia, temos:

d y d x = cos ⁡ ( 4 x ) ⋅ 4

Então, a derivada de   y   =   s i n ( 4 x ) em relação a   x é d y d x = 4 cos ⁡ ( 4 x )

Passo 3

A derivada da função composta é:

d y d x = d d x f g x = f ' u × g ' x

d y d x = d d u sen ⁡ u × d d x 4 x

d y d x = cos ⁡ u × 4

Como u = 4 x então:

d y d x = 4 cos ⁡ 4 x

Resposta

u = 4 x e y = sen ⁡ u .

d y d x = 4 cos ⁡ 4 x

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