Encontre a derivada da função.

s(t) = raiz((1 + sen(t)) / (1 + cos(t)))

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada da função s t = 1 + sen ⁡ t 1 + cos ⁡ t .

Observe que temos uma função composta. Então, vamos precisar usar a Regra da Cadeia na derivação. Lembra dela?

Ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

s t = F f t

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora, aplicada na de dentro, e multiplica pela derivada da função de dentro:

s ' t = F ' f t ⋅ f ' t

Nesse caso, temos que a função de fora, é a raiz:

F f t = f t

Já a função de dentro é dada por:

f t = 1 + sen ⁡ t 1 + cos ⁡ t

Observe que para derivar esse termo vamos precisar também da regra do quociente ( f g ' = f ' g - f g ' g 2 ). Então, vamos lá!

Passo 2

Vamos começar aplicando a derivada na nossa função:

s ' t = d d t 1 + sen ⁡ t 1 + cos ⁡ t

Como a nossa função externa é dada por F f t = f t , sua derivada será dada por:

F ' f t = 1 2 f t

Então, de acordo com a Regra da Cadeia, vamos ter:

s ' t = 1 2 f t ∙ f ' ( t )

Passo 3

Mas quem é f ( t ) mesmo? É a nossa função interna, dada por f t = 1 + sen ⁡ t 1 + cos ⁡ t . Então, para derivar esse termo precisamos da regra do quociente. Fazendo:

f ' t = d d t 1 + sen ⁡ t ⋅ 1 + cos ⁡ t - d d t 1 + cos ⁡ t ⋅ ( 1 + sen ⁡ t ) 1 + cos ⁡ t 2

A derivada do seno é o cosseno e a derivada do cosseno é menos o seno. Assim, temos:

f ' t = cos ⁡ t ⋅ 1 + cos ⁡ t - - sen ⁡ t ⋅ ( 1 + sen ⁡ t ) 1 + cos ⁡ t 2

Fazendo as multipicações:

f ' t = cos ⁡ t + cos 2 ⁡ t + sen ⁡ t + sen 2 ⁡ t 1 + cos ⁡ t 2

Podemos simplificar a expressão usando a relação trigonométrica sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1 . Dessa forma, teremos:

f ' t = sen ⁡ t + cos ⁡ t + 1 1 + cos ⁡ t 2

Passo 4

Então, substituindo f ( t ) e f ' ( t ) no resultado do passo 2 , temos a nossa derivada:

s ' t = 1 2 1 + sen ⁡ t 1 + cos ⁡ t ∙ sen ⁡ t + cos ⁡ t + 1 1 + cos ⁡ t 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

s ' t = 1 2 1 + sen ⁡ t 1 + cos ⁡ t ∙ sen ⁡ t + cos ⁡ t + 1 1 + cos ⁡ t 2

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