Enunciado

Encontre a derivada da função.

s (t) = sqrt((1 + sen t)/(1 + cos t))

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada da função s (t) = sqrt((1 + sen t)/(1 + cos t)) .

Observe que temos uma função composta. Então, vamos precisar usar a Regra da Cadeia na derivação. Lembra dela?

Ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

s (t) = F (f (t))

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora, aplicada na de dentro, e multiplica pela derivada da função de dentro:

s^' (t) = F^' (f (t)) * f^' (t)

Nesse caso, temos que a função de fora, é a raiz:

F (f (t)) = sqrt(f (t))

Já a função de dentro é dada por:

f (t) = (1 + sen t)/(1 + cos t)

Observe que para derivar esse termo vamos precisar também da regra do quociente ( ((f)/(g))^' = (f^' g - f g^')/(g^2) ). Então, vamos lá!

Passo 2

Vamos começar aplicando a derivada na nossa função:

s^' (t) = (d)/(d t) (sqrt((1 + sen t)/(1 + cos t)))

Como a nossa função externa é dada por F (f (t)) = sqrt(f (t)) , sua derivada será dada por:

F^' (f (t)) = (1)/(2 sqrt(f (t)))

Então, de acordo com a Regra da Cadeia, vamos ter:

s^' (t) = (1)/(2 sqrt(f (t))) * f^' ( t )

Passo 3

Mas quem é f ( t ) mesmo? É a nossa função interna, dada por f (t) = (1 + sen t)/(1 + cos t) . Então, para derivar esse termo precisamos da regra do quociente. Fazendo:

f^' (t) = ((d)/(d t) (1 + sen t) * (1 + cos t) - (d)/(d t) (1 + cos t) * ( 1 + sen t ))/((1 + cos t)^2)

A derivada do seno é o cosseno e a derivada do cosseno é menos o seno. Assim, temos:

f^' (t) = ((cos t) * (1 + cos t) - (- sen t) * ( 1 + sen t ))/((1 + cos t)^2)

Fazendo as multipicações:

f^' (t) = (cos t + cos^2 t + sen t + sen^2 t)/((1 + cos t)^2)

Podemos simplificar a expressão usando a relação trigonométrica sen^2 t + cos^2 t = 1 . Dessa forma, teremos:

f^' (t) = (sen t + cos t + 1)/((1 + cos t)^2)

Passo 4

Então, substituindo f ( t ) e f^' ( t ) no resultado do passo 2 , temos a nossa derivada:

s^' (t) = (1)/(2 sqrt((1 + sen t)/(1 + cos t))) * (sen t + cos t + 1)/((1 + cos t)^2)

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

s^' (t) = (1)/(2 sqrt((1 + sen t)/(1 + cos t))) * (sen t + cos t + 1)/((1 + cos t)^2)

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