Enunciado

Escreva, mas não calcule, uma integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno da reta especificada.

y = t g 3 x ,   y = 1 ,   x = 0 ;     e m   t o r n o   d o   e i x o   y = 1

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema queremos encontrar a integral de volume do solido gerado pelas curvas dadas em torno da reta y = 1 .

Parece complicado?

Primeiro vamos esboçar a região sabendo que está limitada entre as curvas y = t g 3 x e y = 1 .

Logo, a região que será rotacionada é:

Ao rotacionarmos a figura em torno da reta y = 1 , teremos um disco infinitesimal de raio:

r = 1 - t g 3 x

Show?

Passo 2

A área do disco infinitesimal será:

A x = π 1 - t g 3 x 2

O volume do sólido é dado pela expressão:

V = ∫ 0 π 4 A x d x  

V = π ∫ 0 π / 4 1 - t g 3   x 2 d x

Vamos visualizar o sólido rotacionado:

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

V = π ∫ 0 π / 4 1 - t g 3   x 2 d x

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Ache o volume do solido gerado por rotação, em torno do eixo y da região limitada pela curva x = y ² ² e x = y 4 , no primeiro quadrante
Ache o volume do solido gerado por rotação, em torno do eixo x da região limitada pela curva y = x c o s e c x , a reta x= 1 2 π , x= 1 4 π e eixo x.
Ache o volume do solido gerado por rotação, em torno do eixo y da região limitada pela curva x = c o s y , a reta y = 1 6 π e eixo y
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva y = sec 2 ⁡ x , pelos eixo𝑠 e pelas reta x = 1 4 π em torno do eixo x .
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva y = 3 csc 3 ⁡ x pelo eixo x e pelas reta x = 1 6 π e x = 1 2 π em torno do eixo x .