Enunciado

Esfera e cilindro Encontre o volume do material cortado da

esfera sólida r2 + z2 ≤ 9 pelo cilindro r = 3 sen u.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Iremos determinar o volume do material retirado de uma esfera de raio 3 por um cilindro dado por r = 3 s e n ⁡ ( θ ) .

Passo 2

O problema pode ser resolvido através da integral:

V = ∫ 0 π   ∫ 0 3 s e n ⁡ θ   ∫ 0 9 - r 2   r d z d r d θ

Passo 3

Integrando em z:

V = ∫ 0 π   ∫ 0 3 s e n ⁡ θ   r 9 - r 2 d r d θ

Integrando em r :

V = ∫ 0 π     - 1 3 9 - r 2 3 / 2 0 3 s e n ⁡ θ d θ V = ∫ 0 π     - 1 3 9 - 9 s e n 2 ⁡ θ 3 / 2 + 1 3 ( 9 ) 3 / 2 d θ V = 9 ∫ 0 π     1 - 1 - s e n 2 ⁡ θ 3 / 2 d θ V = 9 ∫ 0 π     1 - c o s 3 ⁡ θ d θ

E finalmente em θ :

V = 9 θ - s e n ⁡ θ + s e n 3 ⁡ θ 3 0 π V = 9 π

Sendo assim, o volume desejado é V = 9 π .

Resposta

V = 9 π

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