Enunciado

Estabeleça o limite usando a Definição 2.1.1; isto é, para qualquer ϵ >   0 , ache um   δ >   0 tal que se 0 < x - a < δ   , então f ( x ) - L < ϵ

lim x → - 3 4 ⁡ 16 x 2 - 9 4 x + 3 = - 6

Passo 1

A exigência da Definição 2.1.1 é a de que 16 x 2 - 9 4 x + 3 seja definida para qualquer número de algum intervalo aberto que contenha - 3 4 , mas não necessariamente definida para quando x = - 3 4 . O polinômio 16 x 2 - 9 4 x + 3 definido para todos os números reais exceto para - 3 4 , mas como independe do valor para qual o limite tende então podemos usar qualquer intervalo aberto que contenha - 3 4 . Assim agora vamos aplicar a Definição 2.1.1.

Se 0 < x - - 3 4 < δ   , então 16 x 2 - 9 4 x + 3 - ( - 6 ) < ϵ

Se 0 < x + 3 4 < δ   , então 4 x + 3 4 x - 3 4 x + 3 + 6 < ϵ

Se 0 < x + 3 4 < δ   , então 4 x - 3 + 6 < ϵ

Se 0 < x + 3 4 < δ   , então 4 x + 3 < ϵ

Passo 2

Agora vamos fazer algumas manipulações na seguinte desigualdade 4 x + 3 < ϵ . Vamos por o número 4 em evidência e depois dividir toda a expressão por 4.

4 x + 3 4 < ϵ

4 x + 3 4 < ϵ ∙ 1 4

x + 3 4 < 1 4 ϵ

Se x + 3 4 < 1 4 ϵ equivale a 4 x + 3 < ϵ , então podemos dizer que

Se 0 < x + 3 4 < δ   , então x + 3 4 < 1 4 ϵ

Passo 3

Agora nossa afirmativa indica que 1 4 ϵ é um δ satisfatório. Tendo essa escolha de δ e manipulando a expressão multiplicando-a por 4 temos o seguinte argumento:

0 < x + 3 4 < δ

0 < x + 3 4 < δ ∙ 4

0 < 4 x + 3 4 < 4 δ

0 < 4 x + 3 < 4 δ

0 < 4 x + 3 < ϵ , pois 1 4 ϵ =   δ

Como podemos estabelecer 1 4 ϵ =   δ , a afirmativa da Definição 2.1.1 é verdadeira e isso prova que lim x → - 3 4 ⁡ 16 x 2 - 9 4 x + 3 = - 6 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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