Enunciado

Suponha que lim x → a ⁡ f x = ∞ e lim x → a ⁡ g x = c , onde c é um número real. Demonstre cada afirmação.

  1. lim x → a ⁡ [ f x + g x ] = ∞
  2. lim x → a ⁡ [ f x g x ] = ∞   se c > 0
  3. lim x → a ⁡ [ f x g x ] = - ∞ se c < 0

Passo 1

Opa, bora lá! Aqui a gente tem que demonstrar alguns itens lembrando que:

lim x → a ⁡ f x = ∞

lim x → a ⁡ g x = c

Na maioria das vezes, quando o seu professor te pede para provar algo ele quer que você seja o mais formal, então iremos utilizar das definições de limites para provarmos essas propriedades.

Primeiro vamos relembrar a definição formal de limite:

Seja f uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o número a , exceto possivelmente no próprio a . Então dizemos que o limite de f ( x ) quando x tende a a é L , e escrevemos

lim x → a ⁡ f x = L

Se para todo número ε > 0 houver um número δ > 0 tal que

Se

0 < x - a < δ

Então

f x - L < ε

Isso é, podemos estar próximos de a por uma distância δ e isso aproxima nossa função de L a uma distância ε .

Agora para o limite infinito:

Seja f uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o número a , exceto possivelmente no próprio a . Então

lim x → a ⁡ f x = ∞

Significa que, para todo número positivo M , há um número positivo δ tal que

Se

0 < x - a < δ

Então

f x > M

Isso é, se o limite for infinito quando estivermos a uma distância δ de a , existe um número positivo M qualquer, que minha função será sempre maior que M .

Passo 2

  1. lim x → a ⁡ [ f x + g x ] = ∞
  2. Vamos supor um dado M . Desde que exista lim x → a ⁡ f x = ∞ , existe δ 1 > 0 tal que

    0 < x - a < δ 1

    f x > M + 1 - c

    Como a nossa definição diz, nossa função sempre será maior que qualquer valor pensado, já que ela vai para .

    Desde que lim x → a ⁡ g x = c , existe δ 2 > 0 , tal que

    0 < x - a < δ 2

    g x - c < 1

    g x > c - 1

    Como a definição, só que aqui escolhemos arbitrariamente ε = 1 , pois podemos fazer isso.

    Vamos supor que δ é menor que δ 1 e δ 2 , então:

    0 < x - a < δ

    Como delta é menor que δ 1 e δ 2 , podemos dizer que:

    f x + g x > M + 1 - c + c - 1 = M

    Como temos:

    f x > M

    Então a gente sempre vai ter:

    lim x → a ⁡ [ f x + g x ] = ∞

    Passo 3

  3. lim x → a ⁡ [ f x g x ] = ∞   se c > 0

Vamos supor um dado M > 0 . Desde que lim x → a ⁡ g x = c > 0 , existe δ 1 > 0 tal que

0 < x - a < δ 1

E por conta do nosso limite

lim x → a ⁡ g x = c

Podemos escolher ε = c 2 :

g x - c < c 2

Sendo assim, teremos então:

g x > c 2

Já que o limite de g ( x ) é c .

Desde que lim x → a ⁡ f x = ∞ , existe δ 2 > 0 , tal que

0 < x - a < δ 2

f x > 2 M c

Isso é, como nossa função tem limite , ela sempre será maior que qualquer M ou múltiplo de M dado.

Se temos δ = min ⁡ δ 1 , δ 2 , então:

0 < x - a < δ

E o produto f x g ( x ) pode ser reescrito como:

f x g x > 2 M c c 2 = M

Visto isso,   lim x → a ⁡ f x g x = ∞

Passo 3

(c)   lim x → a ⁡ [ f x g x ] = - ∞ se c < 0

Vamos supor um dado N < 0 . Desde que lim x → a ⁡ g x = c < 0 , existe δ 1 > 0 tal que

0 < x - a < δ 1

E por conta do nosso limite

lim x → a ⁡ g x = c

Podemos escolher ε = - c 2 :

g x - c < - c 2

Sendo assim:

g x < c 2

Desde que lim x → a ⁡ f x = ∞ , existe δ 2 > 0 , tal que

0 < x - a < δ 2

f x > 2 N c

Isso é, como nossa função tem limite , ela sempre será maior que qualquer N ou múltiplo de N dado.

Se temos δ = min ⁡ δ 1 , δ 2 , então:

0 < x - a < δ

f x g x < 2 N c c 2 = N

Isto pode ser interpretado como, independentemente do valor extremamente grande de f ( x ) , um produto por um valor negativo, será negativo.

lim x → a ⁡ f x g x = - ∞

Prontinho!

Resposta

Demonstração.

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