Enunciado

Prove que se f é contínua em x = a e g é descontínua em x = a , então f+g é descontínua em x = a .

Passo 1

Para provar esse enunciado, não podemos particularizar as funções, então apenas podemos usar as definições de continuidade para resolver.

Assim, para que uma função f seja contínua em um número x = a , precisamos que:

Exista lim x → a ⁡ f ( x ) , exista f ( a ) e lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a ) .

Portanto, para uma função g ser descontínua em x = a , pelo menos uma dessas condições devem ser falsas.

Passo 2

Considere então que temos f(x) uma função contínua em x = a e g(x) uma função que não satisfaça a primeira condição:

Então vamos verificar as condições citadas para a função (f+g)(x) em x = a :

Para existir lim x → a ⁡ ( f + g ) ( x ) , pela regra da soma de limites, precisamos que exista ambos oslimites de f e de g, mas o limite de g não existe, o que leva a concluir que o limite de f+g não existe.

Portanto, se a primeira condição não é satisfeita para g, não é satisfeita para f+g e então a soma é descontínua.

Passo 3

Considere agora que f(x) é contínua em x = a e g(x) uma função que não satisfaz a segunda consição:

Então vamos verificar a segunda condição para a função f+g

Como f + g x = f x + g x ,   contanto que f ( x ) e g ( x ) existam. Porém, como g a não existe por hipótese, então ( f + g ) ( a ) não existe, concluindo então que f+g é descontínua em x = a .

Passo 4

Por fim, se considerarmos que f(x) é contínua em x = a e g(x) é uma função que não satisfaz a terceira condição, vamos verificar que a função f+g também não satisfaz:

lim x → a ⁡ ( f + g ) ( x ) = lim x → a ⁡ f ( x ) + lim x → a ⁡ g ( x ) pela regra da soma

Mas lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a ) e lim x → a ⁡ g ( x ) ≠ g ( a ) , então lim x → a ⁡ f ( x ) + lim x → a ⁡ g ( x ) ≠ f a + g ( a )

Logo, lim x → a ⁡ ( f + g ) ( x ) ≠ ( f + g ) ( a ) e, assim, também seria descontínua.

Pronto! Fim da demonstração!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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