Enunciado

A taxa de variação da pressão atmosférica P com relação à altitude h é proporcional a P , desde que temperatura seja constante. A 15 ° C a pressão é 101,3 kPa no nível do mar e 87,14 kPa em h = 1000 m.

(a) Qual é a pressão a uma altitude de 3000 m?

(b) Qual é a pressão no topo do Monte McKinley, a uma altitude de 6187 m?

Passo 1

E aí, bora resolver essa questão! O enunciado diz que a taxa de variação da pressão atmosférica P com relação à altitude h é proporcional a P , desde que temperatura seja constante. Ou seja:

P ' x ∝ P x

Aí ele também fala que a 15 ° C a pressão é 101,3 kPa no nível do mar e 87,14 kPa em h = 1000 m.

Sabendo disso, a primeira coisa que temos que calcular é P ( 3000 ) !

Se a taxa variação da pressão atmosférica P com relação à altitude (derivada da pressão em função da altitude P ' ( h ) ) é proporcional à seu valor ( P h ), então existe uma constante de proporcionalidade k que relaciona ambas. Nesse caso k é exatamente a taxa de crescimento relativa:

k = P ' t P t

Ou também pode ser escrita como:

d P d t = k P

Toda vez que nos deparamos com uma função do tipo d y d t = k y devemos saber que as únicas soluções desse tipo de equação diferencial são as exponenciais do tipo:

y t = y 0 e k t

Ou no nosso caso:

P h = P 0 e k h

Então, se no nível do mar, h = 0 m, a pressão é P 0 = 101,3 kPa e quando a altitude é h = 1000 m, a pressão é P 1000 = 87,14 kPa, vamos substituir na equação:

P h = P 0 e k h

P 1000 = P 0 e 1000 k

87,14 = 101,3 e 1000 k

e 1000 k = 87,14 101.3

Jogando ln dos dois lados:

ln ⁡ e 1000 k = ln ⁡ 87,14 101.3

Usando a propriedade de potência:

1000 k ln ⁡ e = ln ⁡ 87,14 101.3

Isolando o k :

k = ln ⁡ 87,14 101.3 1000

Passo 2

Então, é a pressão a uma altitude de 3000 m:

P h = P 0 e k h

P 3000 = P 0 e 3000 ln ⁡ 87,14 101.3 1000

P 3000 = 101,3 e 3   ln ⁡ 87,14 101.3

Calculando:

P 3000 = 101,3 87,14 101.3 3   = 64 , 5

Logo, a pressão a uma altitude de 3000 m corresponde a 64 , 5 kPa.

Passo 3

Agora vamos pra letra (b). Aqui queremos saber qual é a pressão no topo do Monte McKinley que tem uma altitude de 6187 m. Ou seja, vamos calcular P ( 6187   ) :

P h = P 0 e k h

P 6187   = P 0 e 6187   ln ⁡ 87,14 101.3 1000

P 6187   = 101,3 e 6,187   ln ⁡ 87,14 101.3

Temos que:

e 6,187   ln ⁡ 87,14 101.3 = e   ln ⁡ 87,14 101.3 6,187

e   ln ⁡ 87,14 101.3 6,187 = 87,14 101.3 6,187    

Agora é só calcular:

P 6187   = 101,3 87,14 101.3 6,187     = 39,9

Logo, a pressão no topo do Monte McKinley corresponde a 39,9 kPa.

Resposta

(a) A pressão a uma altitude de 3000 m corresponde a 64 , 5 kPa.

(b) A pressão no topo do Monte McKinley corresponde a 39,9 kPa.

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