Enunciado

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Estime ∑ n = 1 ∞ 2 n + 1 - 6   com precisão de cinco casas decimais.

Passo 1

Bom, pessoal, o que o enunciado quer basicamente é que calculemos o valor de uma série com base num limitante para o erro de aproximação. Quando o enunciado informa “precisão de três casas decimais”, ele quer que cheguemos num número do tipo x , x x x x x ⏟ 5   c a s a s   d e c i m a i s .

Isso significa que o erro de aproximação deve ser tal que

R n ≤ 0,000005

Ou seja, um erro de, no máximo, 0,000005 , de modo que se arredondaria o valor em ± 0,00001 e, portanto, assegurando a precisão na quinta casa decimal.

Show de bola! Chega de blá-blá-blá e vamos calcular o R n .

Passo 2

Já sabemos que

R n ≤ ∫ n ∞ f x d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ n t d x 2 x + 1 6 = lim t → ∞ ⁡ - 1 / 10 2 t + 1 5 - - 1 / 10 2 n + 1 5 = 1 10 2 n + 1 5

Ou seja

R n ≤ 1 10 2 n + 1 5

Como vimos no Passo 1, queremos que o nosso erro na aproximação seja menor que 0,000005 . Logo,

R n ≤ 1 10 2 n + 1 5   e   R n ≤ 0,000005 ∴ 1 10 2 n + 1 5 ≤ 0,000005 ↔ n ≥ 3,1

Passo 3

Como o valor de n precisa ser um número inteiro, usaremos n = 4 . Portanto, a nossa aproximação será:

∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 1 6 ≈ s 4 = 1 2 ∙ 1 + 1 6 + 1 2 ∙ 2 + 1 6 + 1 2 ∙ 3 + 1 6 + 1 2 ∙ 4 + 1 6 = 0.00145

Resposta

∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 1 6 ≈ 0.00145

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