Estime o erro se cos raiz(t) é aproximado por 1 - t/2 + t^2/4! - t^3/6! na integral ∫ 0 1 c o s   t   d t .

Passo 1

Fala, pessoal! Nessa questão, precisamos assumir que a série é dada por 1 - t 4 2 + t 8 4 ! e, a partir disso, estimar o erro. Mas, o primeiro termo que a gente negligencia é justamente o que nos dá esse erro. Nesse caso, como

c o s x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - x 6 6 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

então, trocando x por t , ficamos

c o s   t 2 = 1 - t 2 ! + t 2 4 ! - t 3 6 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n t n ( 2 n ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 2

Olhando para a série geral de c o s   t e a série dada no enunciado, dá pra identificar que o termo omitido é

t 3 6 !

Então, como esse termo seria integrado de 0 a 1 , precisamos fazer essa integração para encontrar o erro

∫ 0 1 t 3 6 ! d t = t 4 4 ⋅ 6 ! | 0 1 = 1 4 4 ⋅ 6 !

∫ 0 1 t 3 6 ! d t = 1 2880 ≈ 0,00035

Esse é o nosso erro. Gostou? Responde Aí!

Resposta

0,00035

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