Enunciado

Nos Exercícios 15-18, utilize séries para estimar os valores das integrais com um erro de magnitude menor que 1 0 - 3 . (A seção de respostas apresenta os valores das integrais arredondados para cinco casas decimais.)

16. ∫ 0 0,1 1 1   +   x 4 d x

Passo 1

Fala, galera! Tudo beleza?

Nessa questão, temos que começar escrevendo o integrando, ou seja, 1 1   +   x 4 , como uma série de potências. Depois, integramos e aplicamos o limite de integração. Daí, a gente vê qual vai ser o primeiro termo menor que 1 0 - 3 = 0,001 e somamos até esse termo.

Para conseguir a aproximação do integrando, precisamos lembrar que a série binomial para m = - 1 / 2 é (Exemplo 2 do livro)

1 1   +   x = 1 - x 2 + 3 x 2 8 - 5 x 3 16 +   ⋅ ⋅ ⋅

Então, para obter a série de 1 1   +   x 4 , é só trocar x por x 4 na fórmula acima:

1 1   +   x 4 = 1 - x 4 2 + 3 x 8 8 - 5 x 12 16 +   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 2

Beleza, agora vamos substituir essa expressão na integral e calcular o resultado

∫ 0 0,1 1 1   +   x 4 d x = ∫ 0 0,1 1 - x 4 2 + 3 x 8 8 - 5 x 12 16 +   ⋅ ⋅ ⋅ d x = x - x 5 2 ⋅ 10 + 3 x 9 8 ⋅ 9 - 5 x 13 16 ⋅ 13 +   ⋅ ⋅ ⋅ 0 0,1

Então, vamos calcular o valor de cada termo até chegar em um que seja menor que 1 0 - 3 :

x | 0 0.1 = 0.1

- x 5 2 ⋅ 5 | 0 0.1 = - ( 0,1 ) 5 10 = - 0,00001 10 = - 0,000001

Opa! Essa foi rápida! Só precisamos somar as duas primeiras contribuições, nesse caso. Assim,

∫ 0 0,1 1 1 + x 4 d x = 0.1 - 0,000001 = 0,099999

Se a gente arredondar até a quinta casa decimal, ficamos exatamente com o resultado do livro: 0,10000 .

Uhuu! Conseguimos! Até a próxima!

Resposta

0,10000

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