Enunciado

Estime sum_(n = 1)^(oo) (2 n + 1)^(- 6) com precisão de cinco casas decimais.

Passo 1

Bom, pessoal, o que o enunciado quer basicamente é que calculemos o valor de uma série com base num limitante para o erro de aproximação. Quando o enunciado informa “precisão de três casas decimais”, ele quer que cheguemos num número do tipo x , underset(5 c a s a s d e c i m a i s)(ubrace x x x x x) .

Isso significa que o erro de aproximação deve ser tal que

R_n <= 0,000005

Ou seja, um erro de, no máximo, 0,000005 , de modo que se arredondaria o valor em +- 0,00001 e, portanto, assegurando a precisão na quinta casa decimal.

Show de bola! Chega de blá-blá-blá e vamos calcular o R_n .

Passo 2

Já sabemos que

R_n <= int_n^(oo) f (x) d x = underset(t -> oo)(lim) int_n^t (d x)/((2 x + 1)^6) = underset(t -> oo)(lim) (- (1 // 10)/((2 t + 1)^5) - (- (1 // 10)/((2 n + 1)^5))) = (1)/(10 (2 n + 1)^5)

Ou seja

R_n <= (1)/(10 (2 n + 1)^5)

Como vimos no Passo 1, queremos que o nosso erro na aproximação seja menor que 0,000005 . Logo,

R_n <= (1)/(10 (2 n + 1)^5) e R_n <= 0,000005 :. (1)/(10 (2 n + 1)^5) <= 0,000005 harr n>=3,1

Passo 3

Como o valor de n precisa ser um número inteiro, usaremos n = 4 . Portanto, a nossa aproximação será:

sum_(n = 1)^(oo) (1)/((2 n + 1)^6) tildetilde s_4 = (1)/((2 * 1 + 1)^6) + (1)/((2 * 2 + 1)^6) + (1)/((2 * 3 + 1)^6) + (1)/((2 * 4 + 1)^6) = 0.00145

Resposta

sum_(n = 1)^(oo) (1)/((2 n + 1)^6) tildetilde 0.00145

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(Continuação do Exercício 81.) Você é capaz de fazer uma série infinita de termos diferentes de zero que convirja para qualquer número que quiser? Explique.
Componha uma série infinita de termos diferentes de zero cuja soma seja:b. - 3
Componha uma série infinita de termos diferentes de zero cuja soma seja:a. 1
Componha uma série infinita de termos diferentes de zero cuja soma seja:c. 0 .
A série no Exercício 6 também pode ser escrita como Escreva-a como uma soma começando com (a) n = - 1 , (b) n = 3 , (c) n = 20 .