Enunciado

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Uma estrela variável é aquela cujo brilho alternadamente cresce e decresce. Para a estrela variável mais visível, Delta Cephei, o período de tempo entre os brilhos máximos é de 5,4 dias, o brilho médio (ou magnitude) da estrela é 4,0 , e seu brilho varia de 0,35 em magnitude. Encontre uma função que modele o brilho de Delta Cephei como uma função do tempo.

Passo 1

E aí galera, beleza? Essa questão é sobre modelagem de funções e transformação de gráficos! Ela é muito boa para a gente ter uma visão melhor de como na prática uma função modela um evento no nosso mundo, nesse caso, o brilho de uma estrela!

A primeira coisa que evemos atentar é que nos é dito que o evento ocorre em períodos de 5,4 dias, ou seja, temos uma função periódica. Além disso, temos um valor máximo e mínimo para a nossa função ( 0,35 acima de 4,0 e 0,35 abaixo), e assim nossa função periódica cresce e decresce alternadamente. Sabe o que isso lembra? Se você disse uma função seno, acertou! Se não disse, não esquenta que com esse passo a passo vais entender tudinho ;)

Dá uma olhada no jeitão do gráfico de uma função seno:

Esse aí é o gráfico de f x = s e n x , que é a função seno mais simples que temos. Acontece que o nosso modelo não vai ser tão simples assim, ele será uma função seno deslocada e deformada.

Se a gente for escrever a forma completona da função seno que a gente vai usar, ela é desse jeito:

B t = a + b   .   s e n c . t + d

Onde o B ( t ) é o brilho da nossa estrela, t o tempo em dias, a o deslocamento na vertical do nosso gráfico, b o fator de deformação na vertical, c o fator de deformação na horizontal e d o deslocamento na horizontal, beleza?

Passo 2

Os valores de a ,   b ,   c e d são todos dados no enunciado da questão! Temos só que intrpretá-lo, olha só:

Quando nos dizem que o brilho médio é 4 , esse valor médio é o valor em torno do qual a nossa fução seno vai oscilar – é o deslocamento na vertical, logo, a = 4 .

Como a função fica oscilando 0,35 acima e 0,35 abaixo desse valor, essa é a nossa amplitude, referente à nossa deformação vertical, logo, b = 0,35 .

Temos que o período entre os brilhos máximos é de 5,4 dias, o período da nossa senóide vai ser de 5,4 . Esse período está relacionado com o nosso fator c e, para encontra-lo, devemos dividir o período de uma senóide simples (que é 2 π ) pelo período da senóide que a gente quer. Teremos então que c = 2 π 5,4 .

Como nada mais nos é dito, não temos nenhum deslocamento na horizontal, ou seja, d = 0 . Pronto! Jogano todos os valores na nossa função genéreica, teremos a nossa resposta! Vai ficar assim:

B t = 4 + 0,35   .   s e n 2 π 5,4   .   t

E acabou a questão, uhul!

Resposta

A função que modela o brilho da estrela é:

B t = 4 + 0,35   .   s e n 2 π 5,4

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