Enunciado

Encontre f + g , f - g , f . g e f // g e defina seus domínios.

f (x) = x^3 + 2 x^2

g (x) = 3 x^2 - 1

Passo 1

E aí galera, beleza? Bora detonar essa questão sobre operações de funções!

Nesse problema temos duas funções f (x) = x^3 + 2 x^2 e g (x) = 3 x^2 - 1 . Nosso objetivo com elas é obter f + g , f - g , f . g e f // g e seus respectivos domínios.

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Passo 2

Primeiros vamos encontrar a função f (x) + g ( x ) , a qual iremos chamar de h ( x ) , beleza?

E só somar as expressões e ver no que dá, olha só:

h (x) = f (x) + g (x) = ( x^3 + 2 x^2 ) + ( 3 x^2 - 1 )

h (x) = x^3 + 5 x^2 - 1

Pronto, essa aqui já era! O domínio da função vai ser todos os números reais (conjunto R ), visto que temos uma função polinomial de 3^o grau e ela não implica em nenhum tipo de restrição no domínio :)

D o m (h (x)) = {x in R}

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora ta na hora do f (x) - g ( x ) , que chamaremos de p ( x ) . Só precisamos subtrair uma expressão da outra, presta atenção:

p (x) = f (x) - g (x) = (x^3 + 2 x^2) - ( 3 x^2 - 1 )

Tem que fazer o jogo de sinal , não esquece! Vai ficar assim:

p (x) = x^3 - x^2 + 1

Como essa é uma função polinomial do 3^o grau também, o domínio vai ser o conjunto R também.

D o m (p (x)) = {x in R}

Tranquilo? Bora prosseguir!

Passo 4

Aqui encontraremos f (x) . g ( x ) , que vamos dar o nome de q ( x ) . Aqui temos que multiplicar uma função pela outra, olha só como é:

q (x) = f (x) . g (x) = (x^3 + 2 x^2) . ( 3 x^2 - 1 )

A gente tem que multiplicar cada termo de um parêntese por cada termo do outro parêntese, beleza? No estilo chuveirinho que o professor lá da primeira série ensinou! Fazendo isso, vamos ter:

q (x) = x^3 . 3 x^2 + 2 x^2 . 3 x^2 - x^3 - 2 x^2

q (x) = 3 x^5 + 6 x^4 - x^3 - 2 x^2

Pronto! Temos aqui um polinômio do 5^o grau, aí já sabe: igual as outras funções que encontramos, todos o domínio é o conjunto R .

D o m (q (x)) = {x in R}

Legal, né? 😉

Passo 5

Esse é o último passo! Vamos encontrar s ( x ) = f ( x ) // g (x) . Temos que dividir os polinômios, saca só:

s (x) = (f (x))/(g (x)) = (x^3 + 2 x^2)/(3 x^2 - 1)

Essa já é a nossa função, mas opa, pera lá! Esse domínio dessa função vai ser diferente: Temos a restrição de que não existe divisão por zero, ou seja, 3 x^2 - 1 != 0 . Vamos ter que resolver essa inequação:

3 x^2 - 1 != 0

3 x^2 != 1

x^2 != (1)/(3)

x != +- sqrt((1)/(3)) = +- (1)/(sqrt(3))

Isso quer dizer que o nosso domínio é todos os números reais (conjunto R ) menos (1)/(sqrt(3)) e - (1)/(sqrt(3)) , beleza? Não sendo esses dois valores, Tudo certo!

D o m (s (x)) = {x in R | x != +- (1)/(sqrt(3))}

Pronto, encontramos todas as funções e essa questão já era! ;)

Entendeu tudo? Responde Aí! 😉

Resposta

h (x) = f (x) + g ( x ) = x^3 + 5 x^2 - 1 (seu domínio é o conjunto R )

p (x) = f (x) - g ( x ) = x^3 - x^2 - 1 (seu domínio é o conjunto R )

q (x) = f (x) . g (x) = 3 x^5 + 6 x^4 - x^3 - 2 x^2 (seu domínio é o conjunto R )

s (x) = (f (x))/(g (x)) = (x^3 + 2 x^2)/(3 x^2 - 1) (seu domínio é o conjunto R menos o conjunto {(1)/(sqrt(3)) , - (1)/(sqrt(3))} )

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