Enunciado

Estude com relação aos máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.

f) f x , y = x 2 + 2 x y + y 2 e x + 2 y - 1 = 0

Passo 1

Perceba que precisamos usar multiplicador de Lagrange, mas precisamos de um superfície para fazer a restrição .Nos foi dada a restrição,   e   x + 2 y - 1 = 0 vamos chama-la de g x , y = x + 2 y - 1

Vamos relembrar como funciona o multiplicador de lagrange

∇ f x , y = λ ∇ g x , y g x , y = 0

Passo 2

Então, precisamos encontrar o gradiente das funções. Vamos lá!

∂ f ∂ x x , y = 2 x + 2 y     ∂ f ∂ y x , y = 2 y + 2 x  

Logo,

∇ f x , y = 2 x + 2 y , 2 y + 2 x

Vamos agora para a função g .  

∂ g ∂ x x , y = 1   ∂ f ∂ y x , y = 2

Logo,

∇ g x , y = 1,2

Passo 3

Substituindo os dados no sistema

2 x + 2 y , 2 y + 2 x = λ 1,2 x + 2 y = 1

Podemos reescrever o sistema,

2 x + 2 y =   λ 2 y + 2 x = 2 λ x + 2 y = 1

Temos que

x = λ - 1

Substituindo na segunda equação

y =   λ - x ⟹

y = λ - λ - 1 = 1    

Passo 4

Substituindo na ultima equação

x + 2 y = 1     ⟹

  λ - 1 + 2 = 1     ⟹

λ = 0   ⟹

x =   - 1

Como g é decrescente - 1,1 é um ponto de mínimo.

Resposta

- 1,1 é um ponto de mínimo

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Determine o paralelepípedo-retângulo de volume máximo, com três de suas faces nos planos coordenados, contido no tetraedro { x , y , z ∈ R 3 | x + 2 y + 3 z ≤ 12 ,x ≥ 0 ,y ≥ 0 ,z ≥ 0 }.
Ache o valor máximo e o valor mínimo da função f x , y , z = x + 2 y + z com restrição x 2 + 2 y 2 + z 2 = 4 .
Encontre o ponto da curva x 2 - 2 x y + y 2 - 2 x - 2 y + 1 = 0 mais próximo da origem.
Determine, dentre os paralelepípedos-retângulos de mesmo volume, o de área máxima.
Maximize f x , y , z = x + 2 y + 3 z sujeita às restrições x 2 + y 2 + z 2 = 4 e x + y + z = 1 .