Encontre o ponto da curva x^2 - 2xy + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0 mais próximo da origem.

Passo 1

Um enunciado mais claro para este problema seria: “Determine a menor distâncias de um ponto até a origem, sendo que este ponto deve estar sobre a curva dada”. Aí pronto! Matamos o enunciado!

Lembrando que a distância de um ponto x , y à origem é dada por x 2 + y 2 , em temos de nomenclatura, neste exercício identificamos:

f = x 2 + y 2

g = x 2 - 2 x y + y 2 - 2 x - 2 y + 1  

Lembrando que a f sempre vai ser a função que queremos minimizar/maximizar e g sempre representará uma restrição na forma g = 0 (no caso, o ponto DEVE estar SOBRE a curva).

Hmmmm, mas note que termos definido f = x 2 + y 2 nos quebra as pernas, pois desse jeito teremos que derivar uma raiz quadrada e carregar ela pra sempre. Por que não definimos, melhor f = x 2 + y 2 ? Afinal, procurar o menor x 2 + y 2 é o mesmo que procurar o menor x 2 + y 2 ! Espertezaaaa!

Agora, devemos resolver o sisteminha

∇ f = λ ∇ g g = 0

Para achar os pontos de máximo/mínimo.

Passo 2

Vamos começar calculando o vetor ∇ f :

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = 2 x , 2 y

Ótimo! Agora façamos o mesmo para o vetor ∇ g :

∇ g = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y = 2 x - 2 y - 2 , - 2 x + 2 y - 2

E pronto, já temos os gradientes!

Passo 3

Agora, vamos substituir ∇ f e ∇ g no sisteminha ∇ f = λ ∇ g g = 0 , o que nos fornece:

2 x , 2 y = λ 2 x - 2 y - 2 , - 2 x + 2 y - 2 x 2 - 2 x y + y 2 - 2 x - 2 y + 1 = 0

Lembra-se que este sisteminha na verdade representa 3 equações:

2 x = λ 2 x - 2 y - 2 2 y = λ - 2 x + 2 y - 2 x 2 - 2 x y + y 2 - 2 x - 2 y + 1 = 0

Agora, para resolver, o mais sensato é isolar x e y nas duas primeiras equações:

x λ - 1 = λ y + 1 y λ - 1 = λ x + 1

Dividindo uma equação pela outra, obtemos que x y = y + 1 x + 1 , ou seja x 2 + x = y 2 + y . Ou seja, a princípio, x = y sería uma solução válida (vai me dizer que não é?!). Assim, substituindo y = x na última equação do sisteminha anterior, ficamos com

x 2 - 2 x 2 + x 2 - 2 x - 2 x + 1 = - 4 x + 1 = 0

...o que nos fornece x = y = 1 4 , ou seja, o ponto

1 4 , 1 4

Resposta

1 4 , 1 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados