Enunciado

Estude com relação aos máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.

j) f x , y = x 3 + y 3 - 3 x - 3 y e x + 2 y - 3  

Passo 1

Perceba que precisamos usar multiplicador de Lagrange, mas precisamos de um superfície para fazer a restrição .Nos foi dada a restrição,   x + 2 y - 3   vamos chama-la de g x , y = x + 2 y - 3  

Vamos relembrar como funciona o multiplicador de lagrange

∇ f x , y = λ ∇ g x , y g x , y = 0

Passo 2

Então, precisamos encontrar o gradiente das funções. Vamos lá!

∂ f ∂ x x , y = 3 x 2 - 3     ∂ f ∂ y x , y = 3 y 2 - 3  

Logo,

∇ f x , y = 3 x 2 - 3     , 3 y 2 - 3

Vamos agora para a função g .  

∂ g ∂ x x , y = 1   ∂ g ∂ y x , y = 2  

Logo,

∇ g x , y = 2 x , 8 y ∇ g x , y = 1,2

Passo 3

Substituindo os dados no sistema

3 x 2 - 3     , 3 y 2 - 3 = λ 1,2 x 2 + 2 y 2 - 2 x = 0

Podemos reescrever o sistema,

2 x = 2   λ x - 2 λ - 4 y = 2 λ y x + 2 y = 3

Da última equação

y = 3 - x 2    

Substituindo na primeira equação e igualando com a segunda,

3 3 - x 2 4 - 3 = 2   3 x 2 - 3  

3     3 - x 2 - 12 = 8   3 x 2 - 3  

3 - x 2 - 4 = 8 x 2 - 1

9 - 6 x + x 2 - 4 = 8 x 2 - 8  

7 x 2 + 6 x - 13 = 0  

x = - 6 ± 20 14  

x 1 = 1   x 2 = 13 7  

y 1 = 1   y 2 = 13 14

Como g é crescente, temos que 1,1 é um ponto de mínimo e ( 13 7   , 13 14 ) é ponto de máximo.

Resposta

1,1 é um ponto de mínimo e ( 13 7   , 13 14 ) é ponto de máximo.

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