Enunciado

Estude com relação aos máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas.

c) f x , y = x 2 - 2 x y + 3 y 2 e x 2 + y 2 - 1  

Passo 1

Perceba que precisamos usar multiplicador de Lagrange, mas precisamos de um superfície para fazer a restrição .Nos foi dada a restrição,   x 2 + 4 y 2 = 8 vamos chama-la de g x , y = x 2 + 4 y 2 - 8  

Vamos relembrar como funciona o multiplicador de lagrange

∇ f x , y = λ ∇ g x , y g x , y = 0

Passo 2

Então, precisamos encontrar o gradiente das funções. Vamos lá!

∂ f ∂ x x , y = 2 x - 2 y   ∂ f ∂ y x , y = 6 y - 2 x  

Logo,

∇ f x , y = 2 x - 2 y , 6 y - 2 x  

Vamos agora para a função g .  

∂ g ∂ x x , y = 2 x   ∂ g ∂ y x , y = 4 y

Logo,

∇ g x , y = 2 x , 6 y

Passo 3

Substituindo os dados no sistema

2 x - 2 y , 6 y - 2 x   = λ 2 x , 6 y x 2 + y 2 = 1

Podemos reescrever o sistema,

2 x - 2 y = 2   λ x 6 y - 2 x = 4 λ y x 2 + y 2 = 1

Da ultima equação

y 2 = 1 - x 2 2 ⟹ y =   1 - x 2 2    

Passo 4

Substituindo na segunda equação e igualando com a primeira

6 1 - x 2 2 - 2 x =     2 2 x - 1 - x 2 2   ⟹   6 1 - x 2 2 - 2 x = 4 x - 2   1 - x 2 2  

6 x =   - 8   1 - x 2 2   ⟹ 3 x = - 4   1 - x 2 2     ⟹ 9 x 2 = 16 1 - x 2 2   ⟹ 9 x 2 = 8 1 - x 2   ⟹ 9 x 2 = 8 - 8 x 2   ⟹ 17 x 2 = 8   ⟹ x   = ±   2 2 17

y =   1 - x 2 2 = ± 3 34

Como g é crescente, temos que - 2 2 17 ,   - 3 34 é um ponto de mínimo e ( 2 2 17 , 3 34 ) é ponto de máximo.

Resposta

- 2 2 17 ,   - 3 34 é um ponto de mínimo e ( 2 2 17 , 3 34 ) é ponto de máximo.

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