Enunciado

Estude o sinal da expressão.

(2 x + 1) (x - 2)

Passo 1

Para estudar o sinal da expressão vamos analisar as duas expressões separadamente!

Primeiro precisamos encontrar para quais valores de x a expressão 2 x + 1 assumirá valores positivos ou negativos. Para isso precisamos igualar a expressão a zero.

2 x + 1 = 0

x = - (1)/(2)

Logo, a expressão assume valores negativos quando x < - (1)/(2) e assume valores positivos quando x > - (1)/(2) . Podemos representar assim:

De forma análoga, para x - 2 temos:

x - 2 = 0

x = + 2

Logo, a expressão assume valores negativos quando x < 2 e assume valores positivos quando x > 2 . Ficando assim,

Vamos analisar agora as três situações, quando a expressão toda é maior que zero, menor e igual a zero.

Passo 2

Vamos lá! Para resolver a primeira inequação (2 x + 1) (x - 2) > 0 , vamos analisar as duas imagens que achamos no passo anterior:

Repara que o produto será positivo quando ambas as funções tiverem o mesmo sinal. Isso vai aconteceter para pontos menores que - (1)/(2) e acima de = 2 . Com isso, temos que para

(2 x + 1) (x - 2) > 0

Ser verdadeira, temos que,

x < - (1)/(2) ou x > 2

Passo 3

Para resolver a segunda inequação, (2 x + 1) (x - 2) < 0 , vamos fazer a mesma análise:

Temos que (2 x + 1) (x - 2) < 0 quando as duas expressões tiverem sinais opostos, analisando as duas imagens vemos que isso acontece quando:

- (1)/(2) < x < 2

Passo 4

Agora vamos resolver a equação igual a zero, temos que analisar a seguinte equação:

(2 x + 1) (x - 2) = 0

Para ela ser zero precisamos que uma das expressões seja igual a zero, assim temos:

2 x + 1 = 0 -> x = - (1)/(2)

x - 2 = 0 -> x = 2

Resposta

(2 x + 1) (x - 2) > 0 para x < - (1)/(2) ou x > 2

(2 x + 1) (x - 2) < 0 para - (1)/(2) < x < 2

(2 x + 1) (x - 2) = 0 para x = - (1)/(2) ou x = 2

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