Enunciado

Evolução humana continua. A análise da diminuição dos dentes feita por C. Loring Brace e colaboradores no Museu de Antropologia da Universidade de Michigan indica que o tamanho dos dentes humanos continua a diminuir e que o processo evolutivo não parou há 30.000   anos, como muitos cientistas acreditam. Por exemplo, para os europeus do norte, a redução no tamanho dos dentes ocorre a uma taxa de 1   %   a cada 1.000   anos.

a. Se t representa o tempo em anos e y   o tamanho do dente, use a condição em que y = 0,99 y 0 quando t = 1.000   paradeterminar o valor de k na equação   y = y 0 e k t .Depois, use esse valor de k para responder às perguntas a seguir.

b. Em cerca de quantos anos os dentes humanos terão 90% do

tamanho atual?

c. Qual será o tamanho dos dentes de nossos descendentes

daqui a 20.000 anos (em porcentagem do tamanho atual)?

a equação diferencial

Passo 1

Vamos resolver primeiro o item a).

Desejamos saber qual o valor de k .Sabemos que para t = 1000 , y = 0,99 y 0 . Utilizando que y = y 0 e k t

Sendo assim,

y = y 0 e k t

⇒ 0,99 y 0 = y 0 e k ( 1000 )

⇒ 0,99 = e k ( 1000 )

⇒ l n ⁡ ( e k 1000 ) = ln ⁡ 0,99

⇒ 1000 k = ln ⁡ 0,99

⇒ k = ln ⁡ 0,99 1000

⇒ k ≈ - 0,00001

Passo 2

  1. Para y = 0.9 y 0 temos que
  2. 0,9 y 0 = y 0 e k t

    0,9 = e ( - 0.00001 ) t ⇒ l n ⁡ ( 0,9 ) = l n ⁡ ( e - 0,00001 t )

    ⇒ - 0,00001 t = l n ⁡ ( 0,9 ) ⇒ t = ln ⁡ 0,9 - 0,00001 ≈ 10.536 anos

    Ou seja, levará cerca de 10.536 anos para que os dentes humanos tenham 90 % do tamanho atual.

    Passo 3

  3. Para t = 20.000 anos temos que

y y 0 = y 0 e k t ⇒ y = e - 0,00001 ( 20.000 )

⇒ y = e ( - 0,2 ) ⇒ y ≈ 0,82

Isso significa que daqui a 20.000 anos, o tamanho dos dentes de nossos descendentes terá 82 %   do tamanho atual.

Resposta

Item a   . k ≈ - 0,00001

Item b. t ≈ 10.536 anos

Item c. y ≈ 82 %  

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