Resolva a equação diferencial

1/x \* (dy/dx) = y \* e^(x^2) + 2 \* raiz(y) \* e^(x^2)

Passo 1

Inicialmente reescreveremos a equação que nos foi dada, ou seja,

1 x d y d x = e x 2 ( y + 2 y   )

Agora para resolver a EDO, reorganizaremos os termos, isso significa que de um lado fica todo mundo que depende de x e do outro todo mundo que depende de y .

1 y + 2 y   d y = x e x 2 d x

Integrando ambos os lados em relação a suas respectivas variáveis, teremos que

∫ 1 y + 2 y   d y     = ∫ x e x 2   d x

Passo 2

Para resolver a integral em relação a y , usaremos a regra de substituição. Dessa maneira, suponha que u = y = y 1 2 ⇒ d u = 1 2 y 1 2 d y ⇒ d y = 2 y 1 2 d u = 2 u d u   . Além disso, como u = y então y = u 2

∫ 1 y + 2 y   d y     =   ∫ 1 u 2 + 2 u   ( 2 u ) d u     = ∫ 2 u u ( u + 2 )   d u     = ∫ 2 ( u + 2 )   d u = 2 ∫ 1 ( u + 2 )   d u     = 2 l n ⁡ | u + 2 | + C 1

Porém, como estamos com uma integral indefinida queremos encontrar a resposta na variável, original, ou seja,

2 l n ⁡ | u + 2 | + C 1 = 2 l n ⁡ | y + 2 | + C 1

Logo,

∫ 1 y + 2 y   d y     = 2 l n ⁡ | y + 2 | + C 1

Passo 3

Para resolver a integral em relação a x , usaremos a regra de substituição. Dessa maneira, suponha que u = x 2 ⇒ d u = 2 x   d x ⇒ d x = d u 2 x . Daí,

∫ x e x 2   d x = ∫ x e u   d u 2 x = 1 2 ∫ e u   d u   = 1 2 e u + C 2

Porém, como estamos com uma integral indefinida queremos encontrar a resposta na variável, original, ou seja,

1 2 e u + C 2 = 1 2 e x 2 + C 2

Logo,

∫ x e x 2   d x = 1 2 e x 2 + C 2

Passo 4

Portanto a solução da EDO é da forma,

∫ 1 y + 2 y   d y     = ∫ x e x 2   d x

⇒ 2 l n ⁡ | y + 2 | + C 1 = 1 2 e x 2 + C 2

De maneira geral teremos

2 ln ⁡ y + 2 - 1 2 e x 2 = C

Onde, C = C 2 - C 1

Resposta

A solução da EDO é:

2 ln ⁡ y + 2 - 1 2 e x 2 = C

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