Enunciado

Se

f x = x                         s e   x ≥ 0 - - x             s e   x < 0

então a raiz da equação f x = 0 é x = 0 . Explique por que o método de Newton falha para encontrar a raiz, não importando que aproximação inicial x 1 ≠ 0 é usada. Ilustre sua explicação com um esboço.

Passo 1

Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Primeiro temos que f x = x para x n > 0 e f x = - - x para x n < 0 .

Vamos agora precisar de f ' x dos dois, vamos calcular então!!

Passo 2

Para achar a derivada de f vamos usar a regra de derivação do polinômio:

x n ' = n x n - 1

Vamos calcular f ' x para f x = x :

f ' x = x ' = x 1 2 ' = 1 2 x 1 2 - 1 = 1 2 x - 1 2 = 1 2 x

Agora vamos calcular f ' x para f x = - - x :

f ' x = - - x ' = - - x 1 2 ' = x 1 2 ' = 1 2 x 1 2 - 1 = 1 2 x - 1 2 = 1 2 x

Passo 3

Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - x n 1 2 x n = x n - 2 x n = - x n

e

x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - - - x n 1 2 x n = x n - - 2 ( - x n )   = - x n

Dá pra ver que depois de escolher qualquer valor de x 1 , os próximos valores vão ficar alternando entre - x 1 e x 1 , nunca chegando a raiz, dá pra ver isso também no gráfico abaixo:

Resposta

Depois de escolher qualquer valor de x 1 , os próximos valores vão ficar alternando entre - x 1 e x 1 , nunca chegando a raiz.

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Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:Os extremos relativos de f ;Os pontos de inflexão do gráfico de f ;Os intervalos em que f é crescenteOs intervalos em
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