Enunciado

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Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:

Os extremos relativos de f ;

Os pontos de inflexão do gráfico de f ;

Os intervalos em que f é crescente

Os intervalos em que f é decrescente;

Onde o gráfico é côncavo para cima;

Onde o gráfico é côncavo para baixo;

A inclinação de qualquer tangente de inflexão;

As assíntotas horizontal, vertical e oblíqua, se existirem

f x = sen ⁡ x + cos ⁡ x ,     x ∈ - 2 π , 2 π

Passo 1

Vamos começar olharando as assíntotas:

Vamos começar pela assíntota horizontal.

Assíntota horizontal: fazer o limite no infinito. Ou seja,

lim x → + ∞ ⁡ f x

lim x → - ∞ ⁡ f x

Como a nossa função tem apenas consseno, já podemos direto dizer que não vai ter limite.

Isso porque o cosseno é uma função que fica oscilando entre 1 e - 1 , mas não tende a nenhum valor.

Então ele não tem assíntota horizontal.

Passo 2

Agora vamos para as assíntotas oblíquas. Só vamos fazer essas assíntotas se não existirem as horizontais. Elas substituem as horizontais por cada lado.

Se as assíntotas horizontais não existirem, talvez existir a oblíqua. Para isso, devemos achar os coeficientes a e b de y = a x + b que é a equação da assíntota obliqua.

Para isso, devemos fazer

a = lim x → + ∞ ⁡ f ' x

Se esse valor existir, aí fazemos

b = lim x → + ∞ ⁡ f x - a x

Mesma coisa para o - ∞

a = lim x → - ∞ ⁡ f ' x

Se esse valor existir, aí fazemos

b = lim x → - ∞ ⁡ f x - a x

Aqui a derivada vai ficar

f ' x = cos ⁡ x - sen ⁡ x

E chegamos em uma função seno, que tem a mesma parada que o cosseno que falamos no passo anterior.

Então esses limites não vão existir e não teremos assíntotas olíquas.

Passo 3

Vamos para as verticais. Para isso, temos que procurar algum valor de x que faça o limite ir para . Normalmente procuramos quando o denominador da fração for 0 . Mas no caso de seno ou cosse isso não vai existir.

Passo 4

Vamos aos extremos e os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso temos que analisar o sinal de f ' x .

f ' x = cos ⁡ x - sen ⁡ x

Lembrando que ele limitou o x entre - 2 π e 2 π .

Vamos analisar quando a função é:

f ' x > 0 → cos ⁡ x - sen ⁡ x > 0 → cos ⁡ x > sen ⁡ x

Temos que separar em dois intervalos, cosseno positivo e cosseno negativo para que possamos ajustar a inequação quando dividirmos por cosseno.

Caos 1: cos ⁡ x > 0 e cos ⁡ x > sen ⁡ x

O cosseno vai ser positivo, no intervalo que ele deu, nos intervalos - 2 π , - 3 π 2 ∪ - π 2 , π 2 ∪ 3 π 2 , 2 π ,

Então

cos ⁡ x > 0 ⟷ x ∈ - 2 π , - 3 π 2 ∪ - π 2 , π 2 ∪ 3 π 2 , 2 π

Agora vamos para a inequação, dividindo por cosseno vai manter a inequação

cos ⁡ x > sen ⁡ x ⟷ 1 > tg ⁡ x ⟷ tg ⁡ x < 1

Então temos que pegar os valores de x nos seguintes intervalos:

- 2 π , - 7 π 4 ∪ - 3 π 2 , - 3 π 4 ∪ - π 2 , π 4 ∪ π 2 , 5 π 4 ∪ 3 π 2 , 2 π

Então, temos:

f ' x > 0 ⟷ x ∈ - 2 π , - 3 π 2 ∪ - π 2 , π 2 ∪ 3 π 2 , 2 π     e     x ∈ - 2 π , - 7 π 4 ∪ - 3 π 2 , - 3 π 4 ∪ - π 2 , π 4 ∪ π 2 , 5 π 4 ∪ 3 π 2 , 2 π

Acabamos com:

f ' x > 0 ⟷ x ∈ - 2 π , - 7 π 4 ∪ - π 2 , π 4 ∪ 3 π 2 , 2 π

Passo 5

Vamos para o outro caso. cos ⁡ x < 0 e cos ⁡ x > sen ⁡ x

O cosseno vai ser negativo, no intervalo que ele deu, nos intervalos - 3 π 2 , - π 2 ∪ π 2 , 3 π 2 ,

Então

cos ⁡ x < 0 ⟷ x ∈ - 3 π 2 , - π 2 ∪ π 2 , 3 π 2

Agora vamos para a inequação, dividindo por cosseno vai mudar a inequação

cos ⁡ x > sen ⁡ x ⟷ 1 < tg ⁡ x ⟷ tg ⁡ x > 1

Então temos que pegar os valores de x nos seguintes intervalos:

- 7 π 4 , - 3 π 2 ∪ - 3 π 4 , - π 2 ∪ π 4 , π 2 ∪ 5 π 4 , 3 π 2

Então, temos:

f ' x > 0 ⟷ x ∈ - 3 π 2 , - π 2 ∪ π 2 , 3 π 2     e     x ∈ - 7 π 4 , - 3 π 2 ∪ - 3 π 4 , - π 2 ∪ π 4 , π 2 ∪ 5 π 4 , 3 π 2

Acabamos com:

f ' x > 0 ⟷ x ∈ - 3 π 4 , - π 2 ∪ 5 π 4 , 3 π 2

Passo 6

Juntando tudo isso, vamos ter:

f ' x > 0 ⟷ x ∈ - 2 π , - 7 π 4 ∪ - π 2 , π 4 ∪ 3 π 2 , 2 π

f ' x > 0 ⟷ x ∈ - 3 π 4 , - π 2 ∪ 5 π 4 , 3 π 2

Que vai ser:

f ' x > 0 ⟷ x ∈ - 2 π , - 7 π 4 ∪ - 3 π 4 , - π 2 ∪ - π 2 , π 4 ∪ 5 π 4 , 3 π 2 ∪ 3 π 2 , 2 π

A derivada vai ser menor que 0 nos outros pedaços do intervalor de - 2 π até 2 π

f ' x < 0 ⟷ x ∈ - 7 π 4 , - 3 π 4 ∪ π 4 , 5 π 4

Quando estivermos trabalhando com mais de um intervalo, basta colocar aquele símbolo de união para deixar tudo bonitinho.

A função é crescente se f ' x > 0 e decrescente se f ' x < 0 , então:

c r e s c e n t e ⟷ x ∈ - 2 π , - 7 π 4 ∪ - 3 π 4 , - π 2 ∪ - π 2 , π 4 ∪ 5 π 4 , 3 π 2 ∪ 3 π 2 , 2 π

d e c r e s c e n t e ⟷ x ∈ - 7 π 4 , - 3 π 4 ∪ π 4 , 5 π 4

Passo 7

Agora vamos ver os extremos. Pelo teste da primeira derivada, teremos máximo quando a função vai de crescente para decrescente, e mínimo quando a função for de decrescente para crescente.

Pelos intervalos do passo anterior, vamos ter

x = - 7 π 4 ,     x = π 4 → m á x i m o

x = - 3 π 4 ,     x = 5 π 4 → m í n i m o

Passo 8

Vamos agora para a concavidade e os pontos de inflexão. A função é côncava para cima se f ' ' x > 0 e côncava para baixo se f ' ' x < 0 .

f ' ' x = - sen ⁡ x - cos ⁡ x

Lembrando que ele limitou o x entre - 2 π e 2 π .

Vamos analisar quando a função é:

f ' x > 0 → - cos ⁡ x - sen ⁡ x > 0 → - cos ⁡ x > sen ⁡ x

Temos que separar em dois intervalos, cosseno positivo e cosseno negativo para que possamos ajustar a inequação quando dividirmos por cosseno.

Caos 1: cos ⁡ x > 0 e - cos ⁡ x > sen ⁡ x

O cosseno vai ser positivo, no intervalo que ele deu, nos intervalos - 2 π , - 3 π 2 ∪ - π 2 , π 2 ∪ 3 π 2 , 2 π ,

Então

cos ⁡ x > 0 ⟷ x ∈ - 2 π , - 3 π 2 ∪ - π 2 , π 2 ∪ 3 π 2 , 2 π

Agora vamos para a inequação, dividindo por cosseno vai manter a inequação

- cos ⁡ x > sen ⁡ x ⟷ - 1 > tg ⁡ x ⟷ tg ⁡ x < - 1

Então temos que pegar os valores de x nos seguintes intervalos:

- 3 π 2 , - 5 π 4 ∪ - π 2 , - π 4 ∪ π 2 , 3 π 4 ∪ 3 π 2 , 7 π 4

Então, temos:

f ' ' x > 0 ⟷ x ∈ - 2 π , - 3 π 2 ∪ - π 2 , π 2 ∪ 3 π 2 , 2 π     e     x ∈ - 3 π 2 , - 5 π 4 ∪ - π 2 , - π 4 ∪ π 2 , 3 π 4 ∪ 3 π 2 , 7 π 4

Acabamos com:

f ' ' x > 0 ⟷ x ∈ - π 2 , - π 4 ∪ 3 π 2 , 7 π 4

Passo 9

Vamos para o outro caso. cos ⁡ x < 0 e - cos ⁡ x > sen ⁡ x

O cosseno vai ser negativo, no intervalo que ele deu, nos intervalos - 3 π 2 , - π 2 ∪ π 2 , 3 π 2 ,

Então

cos ⁡ x < 0 ⟷ x ∈ - 3 π 2 , - π 2 ∪ π 2 , 3 π 2

Agora vamos para a inequação, dividindo por cosseno vai mudar a inequação

cos ⁡ x > sen ⁡ x ⟷ - 1 < tg ⁡ x ⟷ tg ⁡ x > - 1

Então temos que pegar os valores de x nos seguintes intervalos:

- 2 π , - 3 π 2 ∪ - 5 π 4 , - π 2 ∪ - π 4 , π 2 ∪ 3 π 4 , 3 π 2 ∪ 7 π 4 , 2 π

Então, temos:

f ' ' x > 0 ⟷ x ∈ - 3 π 2 , - π 2 ∪ π 2 , 3 π 2     e     x ∈ - 2 π , - 3 π 2 ∪ - 5 π 4 , - π 2 ∪ - π 4 , π 2 ∪ 3 π 4 , 3 π 2 ∪ 7 π 4 , 2 π

Acabamos com:

f ' '   x > 0 ⟷ x ∈ - 5 π 4 , - π 2 ∪ 3 π 4 , 3 π 2

Passo 10

Juntando tudo isso, vamos ter:

f ' ' x > 0 ⟷ x ∈ - π 2 , - π 4 ∪ 3 π 2 , 7 π 4

f ' '   x > 0 ⟷ x ∈ - 5 π 4 , - π 2 ∪ 3 π 4 , 3 π 2

Que vai ser:

f ' ' x > 0 ⟷ x ∈ - 5 π 4 , - π 2 ∪ - π 2 , - π 4 ∪ 3 π 4 , 3 π 2 ∪ 3 π 2 , 7 π 4

A derivada vai ser menor que 0 nos outros pedaços do intervalor de - 2 π até 2 π

f ' ' x < 0 ⟷ x ∈ - 2 π , - 5 π 4 ∪ - π 4 , 3 π 4 ∪ 7 π 4 , 2 π

Quando estivermos trabalhando com mais de um intervalo, basta colocar aquele símbolo de união para deixar tudo bonitinho.

A função é côncava para cima se f ' ' x > 0 e côncava para baixo se f ' ' x < 0 , então:

f ' ' x > 0 ⟷ x ∈ - 5 π 4 , - π 2 ∪ - π 2 , - π 4 ∪ 3 π 4 , 3 π 2 ∪ 3 π 2 , 7 π 4

f ' ' x < 0 ⟷ x ∈ - 2 π , - 5 π 4 ∪ - π 4 , 3 π 4 ∪ 7 π 4 , 2 π

E além disso, teremos os seguintes pontos de inflexão:

x = - 5 π 4

x = - π 4

x = 3 π 4

x = 7 π 4

Passo 11

Vamos juntar todas as informações e fazer o esboço

Não possui assintotas

c r e s c e n t e ⟷ x ∈ - 2 π , - 7 π 4 ∪ - 3 π 4 , - π 2 ∪ - π 2 , π 4 ∪ 5 π 4 , 3 π 2 ∪ 3 π 2 , 2 π

d e c r e s c e n t e ⟷ x ∈ - 7 π 4 , - 3 π 4 ∪ π 4 , 5 π 4

x = - 7 π 4 ,     x = π 4 → m á x i m o

x = - 3 π 4 ,     x = 5 π 4 → m í n i m o

f ' ' x > 0 ⟷ x ∈ - 5 π 4 , - π 2 ∪ - π 2 , - π 4 ∪ 3 π 4 , 3 π 2 ∪ 3 π 2 , 7 π 4

f ' ' x < 0 ⟷ x ∈ - 2 π , - 5 π 4 ∪ - π 4 , 3 π 4 ∪ 7 π 4 , 2 π

Pontos de inflexão

x = - 5 π 4

x = - π 4

x = 3 π 4

x = 7 π 4

O gráfico vai ficar:

Resposta

Não possui assintotas

c r e s c e n t e ⟷ x ∈ - 2 π , - 7 π 4 ∪ - 3 π 4 , - π 2 ∪ - π 2 , π 4 ∪ 5 π 4 , 3 π 2 ∪ 3 π 2 , 2 π

d e c r e s c e n t e ⟷ x ∈ - 7 π 4 , - 3 π 4 ∪ π 4 , 5 π 4

x = - 7 π 4 ,     x = π 4 → m á x i m o

x = - 3 π 4 ,     x = 5 π 4 → m í n i m o

f ' ' x > 0 ⟷ x ∈ - 5 π 4 , - π 2 ∪ - π 2 , - π 4 ∪ 3 π 4 , 3 π 2 ∪ 3 π 2 , 7 π 4

f ' ' x < 0 ⟷ x ∈ - 2 π , - 5 π 4 ∪ - π 4 , 3 π 4 ∪ 7 π 4 , 2 π

Pontos de inflexão

x = - 5 π 4

x = - π 4

x = 3 π 4

x = 7 π 4

O gráfico vai ficar:

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