Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.8 - Ex. 42
A figura mostra o Sol na origem e a Terra no ponto .(A unidade aqui é a distância entre o centro da Terra e o Sol, chamada unidade astronômica: UA km.) Existem cinco localizações ,, , e nesse plano de rotação da Terra em torno do Sol onde um satélite permanece imóvel em relação à Terra, em razão das forças que agem no satélite (inclusive a atração gravitacional da Terra e do Sol) se contrabalancearem. Essas localizações são denominadas pontos de libração. (Um satélite de pesquisa solar foi colocado em um desses pontos.) Se for a massa do Sol, for a massa da Terra e , resulta que a coordenada de é a única raiz da equação de quinto grau
e a coordenada de é a raiz da equação
Usando o valor , encontre a localização dos pontos de libração (a) e (b) .
Passo 1
- Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:
- Agora temos que:
Temos que
Vamos agora precisar de , vamos calcular então:
Passo 2
Pronto, agora que temos é só jogar na fórmula de Newton:
Passo 3
Usando e o ponto de libração é um pouco menos que UA, então vamos usar e vamos substituir na fórmula:
Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de deixar de variar, vamos lá:
Mais uma vez, agora com :
Sucessivamente fazendo vamos achar os valores:
; ; ; e .
Assim, está a UA do sol.
Passo 4
Vamos agora precisar de , vamos calcular então:
Passo 2
Pronto, agora que temos é só jogar na fórmula de Newton:
Passo 3
Usando e é um pouco mais que UA do Sol, e julgando pelo resultado da letra (a), provavelmente menos que UA, então vamos usar e vamos substituir na fórmula:
Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de deixar de variar, vamos lá:
Mais uma vez, agora com :
Sucessivamente fazendo vamos achar os valores:
e
Assim, está a UA do sol.
Resposta
- UA
- UA
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