Enunciado

A figura mostra o Sol na origem e a Terra no ponto 1,0 .(A unidade aqui é a distância entre o centro da Terra e o Sol, chamada unidade astronômica: 1 UA ≈ 1,496 × 10 8 km.) Existem cinco localizações L 1 ,   L 2 , L 3 , L 4 e L 5 nesse plano de rotação da Terra em torno do Sol onde um satélite permanece imóvel em relação à Terra, em razão das forças que agem no satélite (inclusive a atração gravitacional da Terra e do Sol) se contrabalancearem. Essas localizações são denominadas pontos de libração. (Um satélite de pesquisa solar foi colocado em um desses pontos.) Se m 1 for a massa do Sol, m 2 for a massa da Terra e r = m 2 m 1 + m 2 , resulta que a coordenada x de L 1 é a única raiz da equação de quinto grau

p x = x 5 - 2 + r x 4 + 1 + 2 r x 3 - 1 - r x 2 + 2 1 - r x + r - 1 = 0

e a coordenada x de L 2 é a raiz da equação

p x - 2 r x 2 = 0

Usando o valor r ≈ 3,04042 × 10 6 , encontre a localização dos pontos de libração (a) L 1 e (b) L 2 .

Passo 1

  1. Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:
  2. x n + 1 = x n - f x n f ' x n

    Temos que p x = x 5 - 2 + r x 4 + 1 + 2 r x 3 - 1 - r x 2 + 2 1 - r x + r - 1  

    Vamos agora precisar de p ' x , vamos calcular então:

    p ' x = x 5 - 2 + r x 4 + 1 + 2 r x 3 - 1 - r x 2 + 2 1 - r x + r - 1 ' = 5 x 4 - 4 2 + r x 3 + 3 1 + 2 r x 2 - 2 1 - r x + 2 1 - r

    Passo 2

    Pronto, agora que temos p ' x é só jogar na fórmula de Newton:

    x n + 1 = x n - p x n p ' x n → x n + 1 = x n - x n 5 - 2 + r x n 4 + 1 + 2 r x n 3 - 1 - r x n 2 + 2 1 - r x n + r - 1 5 x n 4 - 4 2 + r x n 3 + 3 1 + 2 r x n 2 - 2 1 - r x n + 2 1 - r

    Passo 3

    Usando r = 3,04042 × 10 6 e o ponto de libração é um pouco menos que 1 UA, então vamos usar x 1 = 0,95 e vamos substituir na fórmula:

    x 1 + 1 = x 2 = x 1 - x 1 5 - 2 + r x 1 4 + 1 + 2 r x 1 3 - 1 - r x 1 2 + 2 1 - r x 1 + r - 1 5 x 1 4 - 4 2 + r x 1 3 + 3 1 + 2 r x 1 2 - 2 1 - r x 1 + 2 1 - r = 0,96682

    Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

    x 2 + 1 = x 3 = x 2 - x 2 5 - 2 + r x 2 4 + 1 + 2 r x 2 3 - 1 - r x 2 2 + 2 1 - r x 2 + r - 1 5 x 2 4 - 4 2 + r x 2 3 + 3 1 + 2 r x 2 2 - 2 1 - r x 2 + 2 1 - r ≈ 0,97770

    Mais uma vez, agora com x 4 :

    x 3 + 1 = x 4 = x 3 - x 3 5 - 2 + r x 3 4 + 1 + 2 r x 3 3 - 1 - r x 3 2 + 2 1 - r x 3 + r - 1 5 x 3 4 - 4 2 + r x 3 3 + 3 1 + 2 r x 3 2 - 2 1 - r x 3 + 2 1 - r ≈ 0,98451

    Sucessivamente fazendo vamos achar os valores:

    x 5 ≈ 0,98830 ; x 6 ≈ 0,98976 ; x 7 ≈ 0,98998 ; x 8 ≈ 0,98999 e x 9 ≈ 0,98999 .

    Assim, L 1 está a 0,98999 UA do sol.

    Passo 4

  3. Agora temos que:

p x - 2 r x 2 = x 5 - 2 + r x 4 + 1 + 2 r x 3 - 1 - r x 2 + 2 1 - r x + r - 1 →   p x = x 5 - 2 + r x 4 + 1 + 2 r x 3 - 1 - r x 2 + 2 1 - r x + r - 1 + 2 r x 2

Vamos agora precisar de p ' x , vamos calcular então:

p ' x = x 5 - 2 + r x 4 + 1 + 2 r x 3 - 1 - r x 2 + 2 1 - r x + r - 1 ' = 5 x 4 - 4 2 + r x 3 + 3 1 + 2 r x 2 - 2 1 - r x + 2 1 - r + 4 r x

Passo 2

Pronto, agora que temos p ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - p x n p ' x n → x n + 1 = x n - x n 5 - 2 + r x n 4 + 1 + 2 r x n 3 - 1 - r x n 2 + 2 1 - r x n + r - 1 + 2 r x n 2 5 x n 4 - 4 2 + r x n 3 + 3 1 + 2 r x n 2 - 2 1 - r x n + 2 1 - r + 4 r x n

Passo 3

Usando r = 3,04042 × 10 6 e L 2 é um pouco mais que 1 UA do Sol, e julgando pelo resultado da letra (a), provavelmente menos que 0,02 UA, então vamos usar x 1 = 1,02 e vamos substituir na fórmula:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - x 1 5 - 2 + r x 1 4 + 1 + 2 r x 1 3 - 1 - r x 1 2 + 2 1 - r x 1 + r - 1 + 2 r x 1 2 5 x 1 4 - 4 2 + r x 1 3 + 3 1 + 2 r x 1 2 - 2 1 - r x 1 + 2 1 - r + 4 r x 1 = 1,01422

Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - x 2 5 - 2 + r x 2 4 + 1 + 2 r x 2 3 - 1 - r x 2 2 + 2 1 - r x 2 + r - 1 + 2 r x 2 2 5 x 2 4 - 4 2 + r x 2 3 + 3 1 + 2 r x 2 2 - 2 1 - r x 2 + 2 1 - r + 4 r x 2 ≈ 1,01118

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - x 3 5 - 2 + r x 3 4 + 1 + 2 r x 3 3 - 1 - r x 3 2 + 2 1 - r x 3 + r - 1 + 2 r x 3 2 5 x 3 4 - 4 2 + r x 3 3 + 3 1 + 2 r x 3 2 - 2 1 - r x 3 + 2 1 - r + 4 r x 3 ≈ 1,01018

Sucessivamente fazendo vamos achar os valores:

x 5 ≈ 1,01008 e x 6 ≈ 1,01008

Assim, L 2 está a 1,01008 UA do sol.

Resposta

  1. L 1 = 0,98999 UA
  2. L 2 = 1,01008 UA
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Calcule g ' x sendo g dada por g x = 1 x 3
Calcule g ' x sendo g dada por g x = 1 x 7
Calcule g ' x sendo g dada por g x = x 8
Calcule g ' x sendo g dada por g x = x - 3
Calcule g ' x sendo g dada por g x = x 2