Enunciado

No Exemplo 4 consideramos um membro da família de funções f x = sen ⁡ ( x + sen ⁡ c x ) que ocorre na síntese de FM. Aqui investigamos a função com c = 3 . Comece o gráfico f com a janela retangular [ 0 ,   π ] por [ - 1,2 ;   1,2 ] . Quantos pontos de máximo locais você pode ver? O gráfico tem mais informações do que podemos perceber a olho nu. Para descobrir os pontos de máximo e mínimo escondidos será necessário examinar muito cuidadosamente o gráfico de f ’. De fato, ajuda examinar ao mesmo tempo o gráfico de f ' ' . Encontre todos os valores máximos e mínimos e os pontos de inflexão. Então faça o gráfico de f   na janela retangular [ - 2 π ,   2 π ] por [ - 1,2 ;   1,2 ] e comente sobre a simetria.

Passo 1

Esboçando os gráficos de f ,   f ' e f ' ' :

Passo 2

Pelo gráfico de f x = sen ⁡ ( x + sen ⁡ 3 x ) na janela retangular [ 0 ,   π ] por [ - 1,2 ;   1,2 ] , parece que f tem dois pontos máximos e dois mínimos.

Se nós calcularmos e colocarmos no gráfico f ' x = [ cos ⁡ x + sen ⁡ 3 x ) 1 + 3 cos ⁡ 3 x no intervalos [ 0 ,   2 π ] , nós vemos que o gráfico de f ' parece estar quase tangente ao eixo x em 0.7 .

O gráfico de

f ' ' = - se n ⁡ ( x + sen ⁡ 3 x ) 1 + 3 cos ⁡ 3 x 2 + cos ⁡ ( x + sen ⁡ 3 x ) ( - 9 se n ⁡ 3 x )

é ainda mais interessante perto desse valor de x : parece quase tocar o eixo x .

Passo 3

Dando um zoom nos gráficos para analisar melhor:

Com esse zoom no gráfico de f ' ' , nós vemos que f ' ' na verdade atravesse o eixo x duas vezes próximo a x = 0.65 , indicando uma mudança de concavidade por um intervalo bem curto. Se nós olharmos no gráfico de f ' no mesmo intervalo, nós vemos que ele troca o sinal três vezes perto de x = 0.65 , indicando que o que pensávamos ser um extremo a cerca de x = 0.7 na verdade consiste em três pontos extremos, dois máximos e um mínimo. Esses valores máximos estão a cerca de f 0.59 = 1 e f 0.68 = 1 , e o valor mínimo, em f 0.64 = 0.99996 . Há também um valor máximo mais ou menos em f 1.96 = 1 , e valores mínimos em f 1.46 = 0.49 e em f 2.73 = - 0.51 .

Os pontos de inflexão no intervalo ( 0 ,   π ) , são ( 0.61 ,   0.99998 ) , ( 0.66 ,   0.99998 ) ( 1.17 ,   0.72 ) , ( 1.75 ,   0.77 ) , e ( 2.28 ,   0.34 ) .

No intervalo ( π ,   2 π ) , eles estão entre ( 4.01 ,   - 0.34 ) , 4.54 ,   - 0.77 , 5.11 ,   - 0.72 , ( 5.62 ,   - 0.99998 ) , e ( 5.67 ,   - 0.99998 ) .

Há também pontos de inflexão em ( 0,0 ) e em ( π ,   0 ) .

Note que a função é ímpar e periódica com período 2 π , e é também rotativamente simétrica em todos os pontos de forma ( 2 n + 1 π ,   0 ) , com n sendo um inteiro.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:Os extremos relativos de f ;Os pontos de inflexão do gráfico de f ;Os intervalos em que f é crescenteOs intervalos em
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