Enunciado

  1. Faça o gráfico da função
  2. Explique a forma do gráfico calculando o limite quando x → 0 + ou quando x → ∞ .
  3. Estime os valores máximo e mínimo e então use o cálculo para achar os valores exatos.
  4. Use o gráfico de f ' ' para estimar a coordenada x dos pontos de inflexão.

f x = x 1 x

Passo 1

  1. Temos o seguinte gráfico:
  2. Passo 2

  3. Lembre-se daquela propriedade que diz que a b = e b ln ⁡ a . Assim, temos que
  4. lim x → 0 + ⁡ x 1 x = lim x → 0 + ⁡ e 1 x ln ⁡ x    

    Conforme x → 0 + , ln ⁡ x x → - ∞ , então, x 1 x = e 1 x ln ⁡ x → 0 . Isso indica que há um buraco em ( 0,0 ) . Conforme x → ∞ , nós temos uma forma indeterminada de ∞ 0 .

    lim x → ∞ ⁡ x 1 x = lim x → ∞ ⁡ e 1 x ln ⁡ x

    Mas

    lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x x H = lim x → ∞ ⁡ 1 x 1 = 0

    Então,

    lim x → ∞ ⁡ x 1 x = e 0 = 1

    Isso indica que y = 1 é uma assíntota horizontal.

    Passo 3

  5. Estimando o máximo pelo gráfico: ( 2.72 ,   1.45 ) . Não há mínimo estimado. Nós usamos diferenciação logarítmica para encontrar quaisquer números críticos.
  6. y = x 1 x → ln ⁡ y = 1 x ln ⁡ x → y ' y = 1 x 1 x + ln ⁡ x - 1 x 2 → y ' = x 1 x 1 - ln ⁡ x x 2 = 0 →

    ln ⁡ x = 1 → x = e

    Para 0 < x < e , y ' > 0 , e para x > e , y ' < 0 , então, f e = e 1 e é um valor máximo. Esse ponto é aproximadamente ( 2.7183 ,   1.4447 ) , o que concorda com nossa estimativa.

    Passo 4

  7. O gráfico de f ' ' é o seguinte:

Pelo gráfico, nós vemos que f ' ' x = 0 em x ≈ 0.58 e x ≈ 4.37 . Como f ' ' troca o sinal nesses valores, eles são coordenadas x dos pontos de inflexão.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:Os extremos relativos de f ;Os pontos de inflexão do gráfico de f ;Os intervalos em que f é crescenteOs intervalos em
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