Enunciado

Dê um exemplo de uma função f : R 2 → R tal que ∂ f ∂ y seja contínua em R 2 mas que f não seja contínua em nenhum ponto de R 2 .

Passo 1

Neste exercício, devemos imaginar qualquer função de duas variáveis que seja descontínua em qualquer ponto, mas cuja derivada ∂ f ∂ y seja sempre contínua.

Esta questão parece uma loucura, mas podemos resolvê-la facilmente como o pulo do gato: vamos dividir f x , y em uma some de duas funções f 1 x e f 2 y .

Passo 2

A nossa estratégia do malandro será tomar:

f x , y = f 1 x + f 2 y

Agora, o truque está em definirmos f 1 x e f 2 y de forma conveniente. Assim, vamos tomar:

- f 1 x = qualquer função sempre descontínua em x

- f 2 y = qualquer função sempre contínua em y

Apenas como exemplo, podemos tomar

f 1 x = 1 s e   x   é   r a c i o n a l - 1 s e   x   é   i r r a c i o n a l

E também

f 2 y = y

Logo, teremos: f x , y = f 1 x + y . Note que ∂ f ∂ y = 1 é contínua toda vida. Por outro lado, a presença de f 1 x torna a própria f sempre descontínua!

Resposta

f x , y = f 1 x + y

onde

f 1 x = 1 s e   x   é   r a c i o n a l - 1 s e   x   é   i r r a c i o n a l

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Seja f :R → R uma função diferenciável e seja g x , y = f y + f x y . Verifique que x ∂ f ∂ y + y ∂ g ∂ y = y f ' y
A função p = p V , T é dada implicitamente pela equação p V = n R T , onde neR são constantes não-nulas. Calcule: ∂ p ∂ Ve∂ p ∂ T
Seja z = e x 2 + y 2 ,x = ρ cos ⁡ θey = ρ sin ⁡ θ . Verifique que ∂ z ∂ ρ = e x 2 + y 2 2 x cos ⁡ θ + 2 y sin ⁡ θ Conclua que ∂ z ∂ ρ = ∂ z ∂ x cos ⁡ θ + ∂ z ∂ y sin ⁡ θ
Seja z = f x + a t , onde f é uma função diferenciável de uma variável real e a uma constante. Verifique que ∂ z ∂ t = a ⋅ ∂ z ∂ x
Determine ∂ f ∂ xe ∂ f ∂ y sendo: