Enunciado

No exemplo 4 , mostre que outra equação que define θ em termos de x é:

θ = tg - 1 ⁡ x x 2 + 6

Use essa equação para determinar a que distância da parede o observador deve ficar para conseguir a melhor visão do quadro.

Passo 1

A figura que ilustra a situação é essa aqui:

Pelos ângulos que ele deu, temos que:

tg ⁡ β = 3 x

tg ⁡ α = 2 x

E

θ = β - α

Pela fórmula da subtração de arcos, vamos ter:

tg ⁡ θ = tg ⁡ β - α = tg ⁡ β - tg ⁡ α 1 + tg ⁡ β tg ⁡ α

Logo:

tg ⁡ θ = tg ⁡ β - α = 3 x - 2 x 1 + 3 x 2 x

tg ⁡ θ = tg ⁡ β - α = 1 x 1 + 6 x 2

tg ⁡ θ = 1 x x 2 + 6 x 2 = x x 2 + 6

Agora, usando a definição de tg - 1 ⁡  

θ = tg - 1 ⁡ x x 2 + 6

Passo 2

Para acharmos a melhor visão, devemos achar o ângulo θ máximo. Para isso, devemos olhar a derivada de θ

Vamos fazer

θ = h x = g f x

Com

g x = tg - 1 ⁡ x

f x = x x 2 + 6

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

h ' x = g ' f x f ' x

Temos

g ' x = 1 1 + x 2

Que é a derivada de senh - 1 ⁡  

Então

g ' x = 1 1 + f x 2 f ' x

Passo 3

Vamos finalizar achando a derivada de f x . Para isso vamos usar a regra do quociente:

f x = x x 2 + 6 → f ' x = x ' x 2 + 6 - x 6 + x 2 ' 6 + x 2 2 = 1 6 + x 2 - x 2 x 6 + x 2 2

f ' x = 6 + x 2 - 2 x 2 6 + x 2 2 = 6 - x 2 6 + x 2 2

Vamos ter

g ' x = 1 1 + x x 2 + 6 2 6 - x 2 6 + x 2 2

g ' x = 1 1 + x 2 x 2 + 6 2 6 - x 2 6 + x 2 2

g ' x = x 2 + 6 2 x 2 + 6 2 + x 2 6 - x 2 6 + x 2 2

g ' x = 6 - x 2 6 + x 2 2 + x 2

Passo 4

Vamos analisar o sinal dessa derivada agora para uisarmos o teste da priemira derivada:

g ' x = 6 - x 2 6 + x 2 2 + x 2

O denominador vai ser sempre positivo, porque é a soma de dois números ao quadrado.

Então o sinal depende só de 6 - x 2 , vamos olahr seu gráfico para entender como ela vai se comportar:

Entre as raízes vai ser positivo e antes ou depois delas vai ser negativo.

Estamos procurando um ponto de máximo, ou seja, quando a derivada é positiva antes do ponto e negativa depois.

Olhando o gráfico isso vai acontecer na rais da direita, vamos encontra-la

6 - x 2 = 0

x 2 = 6

x = ± 6

Como queremos a da direita, vamos ter

x = 6

E essa é a distância que ele deverá ficar

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Use triângulos de referência como no exemplo 1 para determinar os ângulos nos exercícios abaixo:b) cossec - 1⁡ - 2 / 3
Use triângulos de referência como no exemplo 1 para determinar os ângulos nos exercícios abaixo:a) cotan - 1⁡ - 3 / 3
Provar que:Se y = arccot ⁡ x , então y ' = - 1 1 + x 2 .
Calcular a derivada. f x = arcsec ⁡ x
Calcular a derivada. f t = arccos ⁡ ( s e nt )