Enunciado

No exemplo 1, o peru é removido do forno quando sua temperatura atinge 185° F e colocado sobre uma mesa em uma sala onde a temperatura é de 75° F. Após dez minutos a temperatura é de 172° F, e após 20 minutos, 160° F. Use uma aproximação linear para predizer a temperatura do peru após meia hora. Você acha sua predição superestimada ou subestimada? Por quê?

Passo 1

Se T ( t ) é uma função que diz a temperatura no tempo t , vamos utilizar uma aproximação linear para calcular a temperatura para t = 30 minutos. A fórmula para a aproximação linear é:

L x = f a + f ' ( a ) ( x - a )

Sendo a um ponto que tomamos como referência e x o ponto no qual queremos aproximar a função f . Usando o tempo de 20 minutos como referência, nossa aproximação então vai ficar assim:

L 30 = T 20 + T ' ( 20 ) ( 30 - 20 )

⇒ L 30 = 160 + 10 T ' ( 20 )

Passo 2

Agora precisamos de uma aproximação para a derivada da temperatura em relação ao tempo em 20 minutos, T ' ( 20 ) . Vamos esboçar rapidamente um gráfico da temperatura:

Podemos aproximar T ' ( 20 ) pela taxa de variação média da temperatuera entre 10 e 20 minutos:

T ' 20 = T 20 - T 10 20 - 10 = 160 - 172 10 = - 1,2   ° F / m i n

Então:

L 30 = 160 + 10 T ' 20 = 160 - 12 = 148   ° F

Esse resultado é subestimado, pois consideramos que a inclinação da curva entre 20 e 30 min é constante a mesma que a inclinação média entre 10 e 20 minutos. O que acontece na verdade é que a inclinação da curva está diminuindo. A figura mostra como estamos subestimando o resultado:

Resposta

L 30 = 148   ° F   ( r e s u l t a d o   s u b e s t i m a d o )

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Use uma aproximação linear local para estimar o valor da quantidade dada. a r c t g( 0,99 )
Confirme que a fórmula dada é a aproximação linear local em x 0=0 . l n ( 1+x )≈x
Confirme que a fórmula dada é a aproximação linear local de f em x 0=1 , onde Δ x = x - 1 a r c tan ⁡ x; a r c tan ⁡1 + Δ x ≈ π 4 + 1 2 Δ x
Use uma aproximação linear local para estimar o valor da quantidade dada: 3,02 4