Enunciado

Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada da função.

∫ x 2 cos ⁡ t 2   d t

Passo 1

A primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo diz que se temos uma função f contínua em um intervalo [ a ,   b ] e tivermos uma função g definida por:

g x = ∫ a x f t d t

No intervalo a ,   b , então a função g tem derivada pro intervalo ( a ,   b ) e ela é igual a:

g ' x = f ( x )

Usando o Teorema, acharemos então a derivada da função.

Passo 2

Como podemos ver, os limites de integração estão trocados (o x devia estar em cima!), então invertemos os números e multiplicamos a integral por menos 1:

∫ x 2 cos ⁡ t 2   d t = - ∫ 2 x cos ⁡ t 2   d t

A nossa função g é:

g x = - ∫ 2 x cos ⁡ t 2   d t = - ∫ 0 x f ( t )   d t

Então pelo Teorema a derivada fica:

g ' x = - f x = - cos ⁡ x 2

Resposta

∫ x 2 cos ⁡ t 2   d t ' = - cos ⁡ x 2

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Encontre a derivada da função.58) F x = ∫ x 2 x - t g - 1 ( t ) . d t
Encontre a derivada da função.59) y = ∫ cos ⁡ x s e nx ln ⁡ ( 1 + 2 v ) . d v
Encontre a derivada da função.56) g x = ∫ 1 - 2 x 1 + 2 x t . s e nt . d t
Calcule a integral : ∫ 0 2 | 2 x - 1 | d x
Calcule a integral : ∫ 0 3 2 ( d r 1 - r 2 )