Enunciado

O Exercício fornece a velocidade v   = d s d t e a posição inicial de um corpo que se desloca ao longo de uma reta coordenada. Determine a posição do corpo no instante t para o seguinte caso:

v   =   s e n ( π t ) ,     s ( 0 )   = 0

Passo 1

Queremos encontrar a função s ( t ) a partir da análise da função v ( t ) que, como o enunciado nos mostrou, é a sua derivada. Assim, utilizaremos as regras de derivação no sentido inverso para encontrarmos a solução do nosso problema.

Passo 2

Lembrando-se da regra da cadeia que nos diz que dada uma função composta f ( g ( t ) ) se quisermos deriva-la vamos precisar fazer → g ' t * f ' g t . Com isso, podemos pensar numa função que tenha como derivada s e n ( t ) e essa função é - c o s ⁡ ( t ) , como temos um π t no argumento do seno, pela regra da cadeia ao derivarmos - cos ⁡ π t deveríamos ter um π multiplicando o s e n ( π t ) como ele não está presente é um sinal que indica que na função original tínhamos um π dividindo todo mundo.

Passo 3

Sendo assim, podemos imaginar uma função g t tal que g t = - cos ⁡ π t π e observamos que g ' t = v   t = s ' ( t ) . Como consequência direta do teorema do valor médio temos um corolário que diz que se encontrarmos uma função g x tal que s ' x = g ' ( x ) para todo valor de x em um intervalo, então, existe uma constante C tal que s x = g x + C . Dessa forma, podemos fazer o seguinte:

s t = g t + C

s t = - cos ⁡ π t π + C

Utilizando a condição inicial dada s 0 = 0 , temos:

s 0 = - cos ⁡ π * 0 π + C

0 = - cos ⁡ 0 π + C

0 = - 1 π + C

C = 1 π

Logo, para um instante de tempo t qualquer, nossa função s ( t ) será:

s t = - cos ⁡ π t π + 1 π

Resposta

∴ s t = - cos ⁡ π t π + 1 π

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